Diferencia entre revisiones de «Números naturales»
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Revisión del 09:33 2 jul 2014
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Números naturales. Sirven para designar la cantidad de elementos que tiene un cierto conjunto, y se llama cardinal de dicho conjunto.
Sumario
- 1 Historia
- 2 Números naturales
- 3 Representación de los números naturales
- 4 Suma de números naturales, propiedades
- 5 Resta de números naturales, propiedades
- 6 Multiplicación de números naturales, propiedades
- 7 División de números naturales
- 8 Potencias de números naturales
- 9 Raíz cuadrada
- 10 Véase también
- 11 Fuentes
Historia
Antes de que surgieran los números para la representación de cantidades, el ser humano usó otros métodos para contar, utilizando para ello objetos como piedras, palitos de madera, nudos de cuerdas, o simplemente los dedos. Más adelante comenzaron a aparecer los símbolos gráficos como señales para contar, por ejemplo marcas en una vara o simplemente trazos específicos sobre la arena. Pero fue en Mesopotamia alrededor del año 4.000 a. C. donde aparecen los primeros vestigios de los números que consistieron en grabados de señales en formas de cuñas sobre pequeños tableros de arcilla empleando para ello un palito aguzado. De aquí el nombre de escritura cuneiforme.
Este sistema de numeración fue adoptado más tarde, aunque con símbolos gráficos diferentes, en la Grecia antigua y en la antigua Roma. En la Grecia antigua se empleaban simplemente las letras de su alfabeto, mientras que en la antigua Roma además de las letras, se utilizaron algunos símbolos.
Números naturales
Los números naturales son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones, ya que las tareas de contar y de ordenar son las más elementales que se pueden realizar en el tratamiento de las cantidades.
Los números naturales son los números que usamos para contar; uno, dos, tres, cuatro, etc. Les damos un nombre, “Números naturales” para distinguirlos de otros números, como “un medio”, “cuatro tercios”, “tres punto siete”, “menos cinco”; es decir, de los números fraccionarios (1/2), los números con punto decimal (3.7) y los números negativos (-5).
Los números naturales son infinitos. El conjunto de todos ellos se designa por N:
N = {1, 2, 3, 4,…, 10, 11, 12,…}
Como puede verse el cero no se incluye en el conjunto de los números naturales.
Además de cardinales (para contar), los números naturales son ordinales, pues sirven para ordenar los elementos de un conjunto:
1º (primero), 2º (segundo),…, 16º (decimosexto),…
Los números naturales están ordenados, lo que nos permite comparar dos números naturales:
5 > 3; 5 es mayor que 3.
3 < 5; 3 es menor que 5.
Los números naturales son ilimitados, si a un número natural le sumamos 1, obtenemos otro número natural.
Representación de los números naturales
Los números naturales se pueden representar en una recta ordenados de menor a mayor.
Sobre una recta señalamos un punto, que marcamos con el número cero. A la derecha del cero, y con las mismas separaciones, situamos de menor a mayor los siguientes números naturales: 1, 2, 3...
Suma de números naturales, propiedades
a + b = c
Los términos de la suma, a y b, se llaman sumandos y el resultado, c, suma.
El resultado de sumar dos números naturales es otro número natural.
Asociativa
El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado.
(a + b) + c = a + (b + c)
Conmutativa
El orden de los sumandos no varía la suma.
a + b = b + a
Elemento neutro
El 0 es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él da el mismo número.
a + 0 = a
Resta de números naturales, propiedades
a - b = c
Los términos que intervienen en una resta se llaman: a, minuendo y b, sustraendo. Al resultado, c, lo llamamos diferencia.
No es una operación interna:
El resultado de restar dos números naturales no siempre es otro número natural.
2 − 5 No pertenece al conjunto de los números naturales
No es conmutativa:
5 − 2 ≠ 2 − 5
Multiplicación de números naturales, propiedades
Multiplicar dos números naturales consiste en sumar uno de los factores consigo mismo tantas veces como indica el otro factor.
a · b = c
Los términos a y b se llaman factores y el resultado, c, producto.
Interna:
El resultado de multiplicar dos números naturales es otro número natural.
Asociativa:
El modo de agrupar los factores no varía el resultado.
(a · b) · c = a · (b · c)
Conmutativa:
El orden de los factores no varía el producto.
a · b = b · a
Elemento neutro:
El 1 es el elemento neutro de la multiplicación de números naturales, porque todo número multiplicado por él da el mismo número.
a · 1 = a
Distributiva:
La multiplicación de un número natural por una suma es igual a la suma de los multiplicaciones de dicho número natural por cada uno de los sumandos.
a · (b + c) = a · b + a · c
Sacar factor común:
Es el proceso inverso a la propiedad distributiva.
Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor.
a · b + a · c = a · (b + c)
División de números naturales
D : d = c
Los términos que intervienen en un división se llaman, D, dividendo y, d, divisor. Al resultado, c, lo llamamos cociente.
Tipos de divisiones
1. División exacta:
Una división es exacta cuando el resto es cero.
D = d · c
15 = 5 · 3
2. División entera:
Una división es entera cuando el resto es distinto de cero.
D = d · c + r
17 = 5 · 3 + 2
Propiedades de la división de números naturales
1. No es una operación interna:
El resultado de dividir dos números naturales no siempre es otro número natural.
2 : 6 no pertenece a los naturales
2. No es Conmutativo:
a : b ≠ b : a
6 : 2 ≠ 2 : 6
3. Cero dividido entre cualquier número da cero.
0 : 5 = 0
4. No se puede dividir por 0.
La división por cero está indeterminada.
Potencias de números naturales
Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto formado por varios factores iguales.
Base: La base de una potencia es el número que multiplicamos por sí mismo, en este caso el 5.
Exponente: El exponente de una potencia indica el número de veces que multiplicamos la base, en el ejemplo es el 4.
Propiedades de la potencias de números naturales
- 
- Producto de potencias con la misma base: Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes.
- División de potencias con la misma base: Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes.
- Potencia de una potencia: Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes.
- Producto de potencias con el mismo exponente: Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el producto de las bases.
- Cociente de potencias con el mismo exponente: Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de las bases.
- Descomposición polinómica de un número.
Un número natural se puede descomponer utilizando potencias de base 10.
El numero 3 658 podemos descomponerlo del siguiente modo:
Raíz cuadrada
La radicación es la operación inversa a la potenciación. Y consiste en que dados dos números, llamados radicando e índice, hallar un tercero, llamado raíz, tal que, elevado al índice, sea igual al radicando.
En la raíz cuadrada el índice es 2, aunque en este caso se omite. Consistiría en hallar un número conocido su cuadrado.
La raíz cuadrada de un número, a, es exacta cuando encontramos un número, b, que elevado al cuadrado es igual al radicando: b2 = a.
La raíz cuadrada exacta tiene de resto 0.
Cuadrados perfectos: Son los números que poseen raíces cuadradas exactas.
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169,...
Raíz cuadrada entera: Si un número no es cuadrado perfecto su raíz es entera.
Véase también
Fuentes
- Apuntes y ejercicios de Matemáticas, disponible en: www.vitutor.com.
- Monografías Historia de los Números Naturales
