Rectas y puntos notables de un triángulo
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Rectas y puntos notables de un triángulo. En los triángulos se pueden denotar un grupo de rectas y puntos muy importantes. Entre las rectas se pueden nombrar las mediatrices, las medianas, las alturas y las bicectrices; cada una de estas rectas notables, sirven para denotar puntos como el circuncentro, el baricentro, el incentro y el ortocentro.
Sumario
Mediatriz
Mediatriz: Conjunto de puntos del plano que equidistan de los puntos extremos de un segmento. Como consecuencia la mediatriz biseca perpendicularmente al segmento. En un triángulo, las tres mediatrices de sus lados concurren en un punto que equidista de los vértices del triángulo. El punto en el que se cortan las mediatrices de un triángulo, se conoce como circuncentro, o sea, el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo de referencia.
- En el triángulo ABC las mediatrices MAC, MBC y MAB se intersecan en el punto C que costituye el circucentro del triángulo o centro de la circunferencia circunscrita al triángulo ABC.
Mediana
Mediana:
- La mediana es el segmento de recta que se traza desde un vértice de un triángulo al punto medio de su lado opuesto.
- Las tres medianas de un triángulo concurren en un punto.
- El punto donde se cortan la medianas de un triángulo se conoce como baricentro, centroide o centro de gravedad y tiene una propiedad física muy importante: Si colocamos un eje a través de él y dejamos libre el triángulo, este no se mueve por acción de la aceleración de la gravedad, es por ello que el baricentro se llama centro de gravedad del triángulo.
- Las medianas se cortan siempre en un punto interior al triángulo.
El baricentro divide a cada mediana en la razón 2:1. Esto es, la longitud del segmento de mediana medida desde el vértice al baricentro es el doble que desde el baricentro al punto medio del lado en cuestión.
- Cada mediana de un triángulo, lo divide en dos triángulos de igual área.
Meditrices de un triángulo rectángulo
- En el caso de los triángulos rectángulos, el circuncentro es el punto medio de la hipotenusa
Meditrices de un triángulo obtusángulo
- En el caso de los triángulos obtusángulos, el circuncentro es un punto ubicado fuera del triángulo.
Las Alturas
Las Alturas: Se llama altura de un triángulo al segmento de perpendicular trazada por un vértice del triángulo y comprendido entre ese vértice y su lado opuesto. Las alturas de un triángulo concurren en un punto denominado ortocentro del triángulo. El ortocentro de un triángulo acutángulo es un punto interior del triángulo.
El ortocentro en un triangulo obtusángulo
- En el caso de un triángulo obtusángulo, el ortocentro es un punto exterior al triángulo.
- En el caso del triángulo rectángulo vemos que el ortocentro coincide con el vértice del ángulo recto.
Las bisectrices
Bisectriz de un ángulo: Es el conjunto de puntos del plano donde está contenido el ángulo que equidista de los lados del ángulo. Como consecuencia la bisectriz de un ángulo lo divide en dos ángulos de igual amplitud. Todo ángulo tiene dos bisectrices, una interna y otra externa. Las bisectrices interna y externa de un ángulo son perpendiculares entre sí. Las bisectrices de los ángulos interiores de un triángulo concurren en un punto que equdista de los lados del triángulo, llamado incentro del triángulo o centro de la circunferencia inscrita en el triánguloy siempre es interior al triángulo. La equidistancia se llama inradio o radio de la circunferencia inscrita en el triángulo. Cada bisectriz interna y las otras dos bisectrices externas de los ángulos de un triángulo concurren en otros tres puntos que también equidistan de los lados (o sus prolongaciones)del triángulo. Estos puntos se llaman exincentros del triángulo y las circunferencias que determinan: circunferencias exinscritas del triángulo.
