Subgrupo normal

Subgrupo normal: Se da el caso de que para algunos subgrupos,los conceptos de clase lateral izquierda y derecha son lo mismo, el producto de clases está bien definido y la colección de todas las clases forman un grupo, ello inquietó el genio de Evariste Galois a descubrir cierta clase especial de subgrupos, que se llaman normales o invariantes.

Definición

Un subgrupo N de un grupo G se llama subgrupo normal (o subgrupo invariante o bien divisor normal), si la descomposición del grupo G en clases a la izquierda respecto del subgrupo N coincide con la descomposición a la derecha .

De modo que todos los subgrupos de un grupo abeliano son subgrupos normales del mismo. De otro lado, el subgrupo unidad y el mismo grupo son subgrupos normales de dicho grupo.

Ejemplos

• En el grupo no conmutativo S₃ el subgrupo cíclico del elemento (123) que consta de la sustitución idéntica y de las sustituciones (123) y (132) representa un subgrupo normal.
• En el grupo multiplicativo M_n[P] de las matrices cuadradas no degeneradas de orden de orden n, cuyos elementos están en el cuerpo P, las marices cuyos determinantes son 1, forman obviamente un subgrupo, que por cierto es subgrupo normal.

Definición alternativa

Un subgrupo N de un grupo G se llama subgrupo normal ( divisor normal del grupo), si para cada elemento a de G

aN = Na.

Denominaremos conjugados a los elementos c y d del grupo G, si existe al menos un elemento h de G talque c= h^-1dh, se suele llamar que d es el elemento transformado de c por el elemento h.

Fuentes

• Curso de álgebra superior de Kúrosch, Editorial Mir, Moscú, varias ediciones.
• Grupos continuos de Pontriaguin
• introducción al álgebra de Kostrikin
• Álgebra Moderna de Birkhoff & Mc Lane
• Álgebra Moderna de Herstein
• Álgebra abstracta de Fraleigh
• Álgebra de Lang
• Álgebra moderna de Schaumm