Teorema fundamental del álgebra

Teorema fundamental del álgebra Concepto: Todo polinomio no constante de una variable tiene al menos una raíz.

Teorema fundamental del Álgebra. En Matemáticas y más especifícamente Álgebra, Análisis matemático, Geometría y Geometría análitica es un teorema que plantea que todo polinomio no constante de una variable tiene al menos una raíz.

Del presente se deriva que todo polimonio p(x) de una variable no constante tiene la misma cantidad de raíces reales o complejas que su grado n, resultado teórico que es vital para el cálculo matemático.

Definiciones

Sea el polinomio de grado n (n>0) de una variable:

• p(x)=a₀+a₁x+a₂x²+...+a_nxⁿ.

Existe un número r tal que p(r)=0 o lo que es lo mismo, pero expresado como una factorización:

• p(x)=(x-r)(b₀+b₁x+...+b_n-1x^n-1)

Importancia

De la última definición se desprende que si p(x) puede expresarse como:

• p(x)=(x-r₁)(b₀+b₁x+...+b_n-1x^n-1)

resultando un nuevo polinomio p₁(x):

• p₁(x)=b₀+b₁x+...+b_n-1x^n-1

de grado n-1; entonces a este nuevo polinomio puede aplicarsele el mismo teorema obteniendo una nueva raíz r₂ de manera que se podría expresar p(x) de la forma:

• p(x)=(x-r₁)(x-r₂)p₂(x)

y así descomponiendo sucesivamente los subpolinomios resultantes, hasta tener n raíces para p(x) quien podría expresarse a partir del producto de una serie de polimonios lineales tal y como sigue:

• p(x)=(x-r₁)(x-r₂)...(x-r_n)

Esta asociación directa entre el grado del polinomio y la cantidad de raíces suyas es de vital importancia tanto para las matemáticas como para otras ramas en las que se modela el comportamiento de algún fenómeno con polinomios.

Otro aspecto es el hecho de la paridad de las raíces complejas que indica que:

• Si z es una raíz compleja del polinomio p(x), entonces su conjugada también es raíz de p(x).

Esto puede apreciarse en el caso en que las ecuaciones de segundo grado ax²+bx+c=0, al calcularsele el discriminante D=b²-4ac<0, entonces solo se satisface con los complejos:

• 
• 

que como se ve son conjugadas.

Veáse también

• Polinomio.
• Números complejos.
• Número real.

Fuentes

• I. Bronshtein, K. Semendiaev. Manual de matemáticas para ingenieros y estudiantes. 2da Edición. Editorial Mir, Moscú. 1973.
• en Wikipedia Teorema fundamental del álgebra. Disponible en "es.wikipedia.org" Consutado 1 de noviembre de 2014.