Diferencia entre revisiones de «Topología del plano complejo»
(→Ejemplos de conjunto abierto: Es bueno señalar un objeto que no calza con el concepto) |
(→Conjunto cerrado) |
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==Conjunto cerrado== | ==Conjunto cerrado== | ||
+ | Un conjunto F se llama ''cerrado'' si el complemento de F: F<sup>c</sup> = { z/ z no está en F } es abierto. | ||
===Propiedades=== | ===Propiedades=== | ||
Revisión del 12:46 23 oct 2015
La topología del plano complejo es la misma que la topología de R2, para lo cual se va a usar el concepto de distancia entre los números w y z , d = |w-z |
Sumario
Vecindad
se llama vecindad del punto w0, que está en C, a todo conjunto V que contiene un círculo
Vr(w0 ) = {z / |z-w0 | < r},
de centro w0 y radio r > 0.
El círculo Vr(w0 ) es, obviamente, una vecindad de w0
Punto interior
Un w0 de un conjunto H parte de C se llama punto interior de H si existe una vecindad Vr(w0 ) de w0 que sea parte de H.
El conjunto de todos los puntos interiores de H se llamo el interior de H y se denota por H0 .
Al conjunto H se llama conjunto abierto si H = H0 .
En otras palabras, un conjunto H es abierto si, sólo si, todo punto de H es punto interior de H.
Ejemplos de conjunto abierto
- El conjunto H= {z/ |z| < 1}, el conjunto de los puntos cuya distancia al origen es menor que 1. Sea el punto z0 un punto cualquiera de H, consideremos r = mín{|z0 |, 1 - |z0| }; la vecindad Vr(z0 ) = {z/ |z- z0 | < r} está contenido en {z/ |z| < 1}; luego z0 es punto interior, por consiguiente H es un conjunto abierto en C.
- El conjunto C de todos los números complejos es abierto. De igual modo el conjunto vacío ∅ es un conjunto abierto, vacuamente se cumple la definición de conjunto abierto.
- El conjunto G de los puntos del plano complejo que satisfacen la ecuación | z - i | > 5; o se los puntos que no están en el círculo de centro en i = (0; 1) y de radio 5.
- El conjunto K de los puntos z del plano complejo tal que Re(z) >0, es un conjunto abierto. El conjunto K es uno de los semiplanos cuya frontera es el eje imaginario.
- El conjunto L de los puntos z del plano complejo tal que | z-1 | + | z+1 | <= 5 no es conjunto abierto.
Propiedades de conjuntos abiertos
- La unión de una familia cualquiera de conjuntos abiertos es también un conjunto abierto
- la intersección de un número finito de conjuntos abiertos es un conjunto abierto.
Conjunto cerrado
Un conjunto F se llama cerrado si el complemento de F: Fc = { z/ z no está en F } es abierto.
Propiedades
Punto de acumulación
Fuentes
- Funciones de variable compleja de José I. Nieto
- Variable compleja de César A. Trejo