Diferencia entre revisiones de «Topología del plano complejo»
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− | El círculo V<sub>r</sub>(w<sub>0</sub> ) es, obviamente, una vecindad de w<sub>0</sub> | + | El círculo V<sub>r</sub>(w<sub>0</sub> ) es, obviamente, una vecindad de w<sub>0</sub> <ref> Se puede consultar a A. K. Guts en su ''Análisis complejo y cibernética'' URSS Moscú (2011) </ref> |
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− | Un w<sub>0</sub> de un conjunto H parte de C se llama ''punto interior'' de H si existe una vecindad V<sub>r</sub>(w<sub>0</sub> ) de w<sub>0</sub> que sea parte de H. | + | Un w<sub>0</sub> de un conjunto H parte de C se llama '''punto interior''' de H si existe una vecindad V<sub>r</sub>(w<sub>0</sub> ) de w<sub>0</sub> que sea parte de H. |
− | El conjunto de todos los puntos interiores de H se | + | El conjunto de todos los puntos interiores de H se llama el '''interior ''' de H y se denota por H<sup>0 </sup>. |
+ | ==Conjunto abierto== | ||
− | + | Un conjunto H de números complejos se llama '''conjunto abierto'' si el conjunto es igual a su interior. O bien si H = H<sup>0 </sup>. | |
En otras palabras, un conjunto H es abierto si, sólo si, todo punto de H es punto interior de H. | En otras palabras, un conjunto H es abierto si, sólo si, todo punto de H es punto interior de H. | ||
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*El conjunto H= {z/ |z| < 1}, el conjunto de los puntos cuya distancia al origen es menor que 1. Sea el punto z<sub>0</sub> un punto cualquiera de H, consideremos r = mín{|z<sub>0</sub> |, 1 - |z<sub>0</sub>| }; la vecindad V<sub>r</sub>(z<sub>0</sub> ) = {z/ |z- z<sub>0</sub> | < r} está contenido en {z/ |z| < 1}; luego z<sub>0</sub> es punto interior, por consiguiente H es un conjunto abierto en C. | *El conjunto H= {z/ |z| < 1}, el conjunto de los puntos cuya distancia al origen es menor que 1. Sea el punto z<sub>0</sub> un punto cualquiera de H, consideremos r = mín{|z<sub>0</sub> |, 1 - |z<sub>0</sub>| }; la vecindad V<sub>r</sub>(z<sub>0</sub> ) = {z/ |z- z<sub>0</sub> | < r} está contenido en {z/ |z| < 1}; luego z<sub>0</sub> es punto interior, por consiguiente H es un conjunto abierto en C. | ||
− | == | + | * El conjunto C de todos los números complejos es abierto. De igual modo el conjunto vacío ∅ es un conjunto abierto, vacuamente se cumple la definición de conjunto abierto. |
+ | * El conjunto G de los puntos del plano complejo que satisfacen la ecuación | z - i | > 5; o se los puntos que no están en el círculo de centro en i = (0; 1) y de radio 5. | ||
+ | * El conjunto K de los puntos z del plano complejo tal que Re(z) >0, es un conjunto abierto. El conjunto K es uno de los semiplanos cuya frontera es el eje imaginario. | ||
+ | * El conjunto L de los puntos z del plano complejo tal que | z-1 | + | z+1 | <= 5 no es conjunto abierto. | ||
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+ | ==Definición de una topología en C== | ||
+ | Sea Θ = { V...} la familia de todos los conjuntos abiertos del plano C. A esta familia θ, que verifica las cuatro condiciones siguientes se dirá una '''topología''' en el conjunto C. <ref> En el conjunto C puede definirse más de una topología</ref> | ||
# La unión de una ''familia cualquiera'' de conjuntos abiertos es también un conjunto abierto | # La unión de una ''familia cualquiera'' de conjuntos abiertos es también un conjunto abierto | ||
# la intersección de un ''número finito'' de conjuntos abiertos es un conjunto abierto. | # la intersección de un ''número finito'' de conjuntos abiertos es un conjunto abierto. | ||
+ | # El conjunto vacío {} es abierto | ||
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+ | ==Región== | ||
+ | Un conjunto abierto y acotado de C se llama región. | ||
+ | ; como ejemplo | ||
+ | :Un círculo círculo abierto | ||
+ | : Sea c un punto fijo del plano complejo y 0 < m < n, números reales, el conjunto J = {z/ r < |z -c|} es una región. | ||
==Conjunto cerrado== | ==Conjunto cerrado== | ||
+ | Un conjunto F se llama ''cerrado'' si el complemento de F: F<sup>c</sup> = { z/ z no está en F } es abierto. | ||
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+ | *Un conjunto puede ser abierto y cerrado a la vez, tal el caso del conjunto vacío {} y del conjunto C de los números complejos. | ||
===Propiedades=== | ===Propiedades=== | ||
+ | #La intersección de una familia finita de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado. | ||
+ | # La unión de una familia finita de cerrados es un conjunto cerrado. | ||
+ | # El conjunto {} y el C de todos los números complejos son conjuntos cerrados, porque sus respectivos complementos son abiertos. | ||
==Punto de acumulación== | ==Punto de acumulación== | ||
+ | Sea a un punto del plano complejo y L un conjunto de números complejos,, diremos que a es un '''punto de acumulación''' de L, si toda vecindad de a contiene por lo menos un punto de L distinto de a. | ||
+ | , Ejemplo | ||
+ | Cualquier punto de la circunferencia de un círculo abierto K es un punto de acumulación de K. | ||
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==Fuentes == | ==Fuentes == |
última versión al 15:17 18 mar 2021
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La topología del plano complejo es la misma que la topología de R2, para lo cual se va a usar el concepto de distancia entre los números w y z , d = |w-z |
Sumario
Definición
Se llama círculo abierto de radio r > 0 y centro en H, número complejo, al conjunto C (H,r) = {z / |z- H| < 0}
Vecindad
se llama vecindad del punto w0, que está en el plano complejo, a todo conjunto V que contiene un círculo abierto
Vr(w0 ) = {z / |z-w0 | < r},
de centro w0 y radio r > 0.
El círculo Vr(w0 ) es, obviamente, una vecindad de w0 [1]
Punto interior e interior
Un w0 de un conjunto H parte de C se llama punto interior de H si existe una vecindad Vr(w0 ) de w0 que sea parte de H.
El conjunto de todos los puntos interiores de H se llama el interior de H y se denota por H0 .
Conjunto abierto
Un conjunto H de números complejos se llama 'conjunto abierto si el conjunto es igual a su interior. O bien si H = H0 .
En otras palabras, un conjunto H es abierto si, sólo si, todo punto de H es punto interior de H.
Ejemplos de conjunto abierto
- El conjunto H= {z/ |z| < 1}, el conjunto de los puntos cuya distancia al origen es menor que 1. Sea el punto z0 un punto cualquiera de H, consideremos r = mín{|z0 |, 1 - |z0| }; la vecindad Vr(z0 ) = {z/ |z- z0 | < r} está contenido en {z/ |z| < 1}; luego z0 es punto interior, por consiguiente H es un conjunto abierto en C.
- El conjunto C de todos los números complejos es abierto. De igual modo el conjunto vacío ∅ es un conjunto abierto, vacuamente se cumple la definición de conjunto abierto.
- El conjunto G de los puntos del plano complejo que satisfacen la ecuación | z - i | > 5; o se los puntos que no están en el círculo de centro en i = (0; 1) y de radio 5.
- El conjunto K de los puntos z del plano complejo tal que Re(z) >0, es un conjunto abierto. El conjunto K es uno de los semiplanos cuya frontera es el eje imaginario.
- El conjunto L de los puntos z del plano complejo tal que | z-1 | + | z+1 | <= 5 no es conjunto abierto.
Definición de una topología en C
Sea Θ = { V...} la familia de todos los conjuntos abiertos del plano C. A esta familia θ, que verifica las cuatro condiciones siguientes se dirá una topología en el conjunto C. [2]
- La unión de una familia cualquiera de conjuntos abiertos es también un conjunto abierto
- la intersección de un número finito de conjuntos abiertos es un conjunto abierto.
- El conjunto vacío {} es abierto
- El conjunto C de los números complejos es abierto.
Región
Un conjunto abierto y acotado de C se llama región.
- como ejemplo
- Un círculo círculo abierto
- Sea c un punto fijo del plano complejo y 0 < m < n, números reales, el conjunto J = {z/ r < |z -c|} es una región.
Conjunto cerrado
Un conjunto F se llama cerrado si el complemento de F: Fc = { z/ z no está en F } es abierto.
- Un conjunto puede ser abierto y cerrado a la vez, tal el caso del conjunto vacío {} y del conjunto C de los números complejos.
Propiedades
- La intersección de una familia finita de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado.
- La unión de una familia finita de cerrados es un conjunto cerrado.
- El conjunto {} y el C de todos los números complejos son conjuntos cerrados, porque sus respectivos complementos son abiertos.
Punto de acumulación
Sea a un punto del plano complejo y L un conjunto de números complejos,, diremos que a es un punto de acumulación de L, si toda vecindad de a contiene por lo menos un punto de L distinto de a. , Ejemplo Cualquier punto de la circunferencia de un círculo abierto K es un punto de acumulación de K.
Referencias
Fuentes
- Funciones de variable compleja de José I. Nieto
- Variable compleja de César A. Trejo