Topología del plano complejo

La topología del plano complejo es la misma que la topología de R², para lo cual se va a usar el concepto de distancia entre los números w y z , d = |w-z |

Vecindad

se llama vecindad del punto w₀, que está en C, a todo conjunto V que contiene un círculo

V_r(w₀ ) = {z / |z-w₀ | < r},

de centro w₀ y radio r > 0.

El círculo V_r(w₀ ) es, obviamente, una vecindad de w₀

Punto interior

Un w₀ de un conjunto H parte de C se llama punto interior de H si existe una vecindad V_r(w₀ ) de w₀ que sea parte de H.

El conjunto de todos los puntos interiores de H se llamo el interior de H y se denota por H⁰ .

Al conjunto H se llama conjunto abierto si H = H⁰ .

En otras palabras, un conjunto H es abierto si, sólo si, todo punto de H es punto interior de H.

Ejemplos de conjunto abierto

• El conjunto H= {z/ |z| < 1}, el conjunto de los puntos cuya distancia al origen es menor que 1. Sea el punto z₀ un punto cualquiera de H, consideremos r = mín{|z₀ |, 1 - |z₀| }; la vecindad V_r(z₀ ) = {z/ |z- z₀ | < r} está contenido en {z/ |z| < 1}; luego z₀ es punto interior, por consiguiente H es un conjunto abierto en C.

• El conjunto C de todos los números complejos es abierto. De igual modo el conjunto vacío ∅ es un conjunto abierto, vacuamente se cumple la definición de conjunto abierto.
• El conjunto G de los puntos del plano complejo que satisfacen la ecuación | z - i | > 5; o se los puntos que no están en el círculo de centro en i = (0; 1) y de radio 5.
• El conjunto K de los puntos z del plano complejo tal que Re(z) >0, es un conjunto abierto. El conjunto K es uno de los semiplanos cuya frontera es el eje imaginario.
• El conjunto L de los puntos z del plano complejo tal que | z-1 | + | z+1 | <= 5 no es conjunto abierto.

Propiedades de conjuntos abiertos

1. La unión de una familia cualquiera de conjuntos abiertos es también un conjunto abierto
2. la intersección de un número finito de conjuntos abiertos es un conjunto abierto.

Un conjunto abierto y acotado se llama región.

Conjunto cerrado

Un conjunto F se llama cerrado si el complemento de F: F^c = { z/ z no está en F } es abierto.

• Un conjunto puede ser abierto y cerrado a la vez, tal el caso del conjunto vacío {} y del conjunto C de los números complejos.

Propiedades

• La intersección de una familia finita de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado.

• La unión de una familia finita de cerrados es un conjunto cerrado.

Fuentes

• Funciones de variable compleja de José I. Nieto
• Variable compleja de César A. Trejo