Diferencia entre revisiones de «Topología usual del plano»
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*Consideremos un '''círculo abierto''' de centro K, al conjunto de todos los puntos del plano cuya distancia a K es menor que el el real positivo r. Es el equivalente a un intervalo abierto simétrico de la recta: <a-d; a+d>. | *Consideremos un '''círculo abierto''' de centro K, al conjunto de todos los puntos del plano cuya distancia a K es menor que el el real positivo r. Es el equivalente a un intervalo abierto simétrico de la recta: <a-d; a+d>. | ||
| − | *Diremos que un conjunto A del plano es '''abierto''', si para cualquiera de sus puntos existe un círculo abierto con centro en dicho punto K y que está contenido en A. Se considera que la unión de una clase cualquiera de abiertos es abierta y la intersección de una clase finita de abiertos es abierta. <ref> J. M. Mansfield ''Introducción a la topología'' | + | *Diremos que un conjunto A del plano es '''abierto''', si para cualquiera de sus puntos existe un círculo abierto con centro en dicho punto K y que está contenido en A. Se considera que la unión de una clase cualquiera de abiertos es abierta y la intersección de una clase finita de abiertos es abierta. <ref> J. M. Mansfield ''Introducción a la topología'' Editorial Alhambra Madrid (1974) </ref> |
* Diremos que un conjunto F del plano es '''cerrado''' si su complemento respecto del plano X es abierto. | * Diremos que un conjunto F del plano es '''cerrado''' si su complemento respecto del plano X es abierto. | ||
* Un punto H es '''punto interior''' del conjunto S del plano si hay un círculo abierto C(H; r) con centro en H y radio r, contenido en S, . El conjunto de los puntos interiores de S, se llama '''interior de S''' , se denota Int(S). | * Un punto H es '''punto interior''' del conjunto S del plano si hay un círculo abierto C(H; r) con centro en H y radio r, contenido en S, . El conjunto de los puntos interiores de S, se llama '''interior de S''' , se denota Int(S). | ||
Revisión del 00:52 20 sep 2017
Con el ánimo de presentar ciertas características topológicas de figuras del plano vamos a introducir definiciones pertinentes usuales, mediante el concepto de círculo abierto.
Sumario
Conjuntos y conceptos básicos
- Consideremos un círculo abierto de centro K, al conjunto de todos los puntos del plano cuya distancia a K es menor que el el real positivo r. Es el equivalente a un intervalo abierto simétrico de la recta: <a-d; a+d>.
- Diremos que un conjunto A del plano es abierto, si para cualquiera de sus puntos existe un círculo abierto con centro en dicho punto K y que está contenido en A. Se considera que la unión de una clase cualquiera de abiertos es abierta y la intersección de una clase finita de abiertos es abierta. [1]
- Diremos que un conjunto F del plano es cerrado si su complemento respecto del plano X es abierto.
- Un punto H es punto interior del conjunto S del plano si hay un círculo abierto C(H; r) con centro en H y radio r, contenido en S, . El conjunto de los puntos interiores de S, se llama interior de S , se denota Int(S).
- Al interior del complemento de S respecto del plano X, se llama exterior de S, denotado Ext (S)
- El punto L es punto frontera del conjunto S, si un círculo abierto C(L; r) con centro en L contiene puntos del interior como del exterior de S. Se llama frontera de S a todos los puntos frontera de S. [2].
- Por definición el plano, denotado por X y el conjunto vacío Ø son abiertos. Y en consecuencia también son cerrados por ser complementarios.
- Clausura del conjunto A en el plano X es la intersección de todos los cerrados que contienen a A.
Casos de figuras conocidas
Semiplano
Una recta l determina sobre el plano dos conjuntos disjuntos S_1 y S_2, llamados semiplanos. La recta separatriz no se considera parte de ninguno de los semiplanos. En esas condiciones cada semiplano es un conjunto abierto; también su interior coincide con el mismo. El exterior del semiplano S_2 es el semiplano S_2 y viceversa. La clausura de S_1 es la unión de él mismo con la recta l. La frontera de los dos semiplanos S_1 y S_2 es la recta separatriz l.
Una recta del plano
La recta l determina dos semiplanos que son abiertos y estos son su complemento de l. En consecuencia es cerrado. Su interior es el conjunto vacío; su clausura es es el mismo, igual que su frontera.
