Ley de los senos

Ley de los senos Concepto: La razón del Seno de un ángulo con su lado opuesto es igual a la razón del Seno de cualquiera de los otros ángulos con su lado opuesto.

Ley de los senos. Desempeña un papel fundamental en la solución de Triángulos oblicuos (Triángulos sin ángulo recto). Esta ley proporciona la herramienta básica para la solución de Triángulos oblicuos. Si las cantidades dadas incluyen un lado y el ángulo opuesto, se debe usar la Ley de los senos de otro modo se inicia con la Ley de los cosenos.

Deducción de la ley

La ley de los senos es relativamente fácil de probar usando las propiedades de los Triángulos rectángulos. Se usará también el hecho de que sen(180-X)=sen X , lo cual se obtiene fácilmente usando una Identidad de la diferencia.

Refiriéndose a los siguientes triángulos se procede como sigue:

sen α=h/a y sen δ=h/b

Despejando h de cada Ecuación se obtiene:

h=a * sen α y h=b * sen δ

Así,

a * sen α=b * sen δ

sen α / b=sen δ / a  (1)

De manera similar, para cada triángulo:

sen α=m/c y sen α=sen(180-α)

sen α=m/c y sen α=m/b

Al despejar m de cada Ecuación, se obtiene:

m=c * sen α y m=b * sen α

Así,

c * sen α=b * sen α

 sen α / b=sen α / c (2)

Si se combinan las ecuaciones (1) y (2), se obtiene la ley de los senos.

Teorema

Ley de los senos:

En otras palabras, la razón del seno de un ángulo con su lado opuesto es igual a la razón del seno de cualquiera de los otros ángulos con su lado opuesto.

Por consiguiente, la ley de los senos se usa para resolver Triángulos, dando:

1. Dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos(LLA).
2. Dos ángulos y cualquier lado(ALA o AAL).

Solución para el caso ALA

Para los valores α=45⁰ , γ=28⁰ y b=120 m

Solución:

Se están dando dos ángulos y el lado que los contiene, este es el caso ALA. Encuentre el tercer ángulo, después encuentre los otros dos lados usando la ley de los senos.

Despeje β:

α + β + γ =180⁰

β=180⁰ - (α + γ)

  =180⁰ -(28⁰ + 45⁰)

  =106⁰

Despeje c:

sen β / b=sen γ / c

c=(b * sen γ) / sen β

  =(120⁰ * sen 28⁰) / sen 106⁰

  =58,6 m

Despeje a:

sen α / a=sen β / b

a=(b * sen α) / sen β 

  =(120⁰ * sen 45⁰) / sen 106⁰

  =88,3 m

Solución para el caso LLA

Para los valores β=123⁰ , b=47 cm y c=23 cm:

Despeje γ:

sen β / b=sen γ / c

sen γ=(c * sen β) / b

γ=sen^-1[(23⁰ * sen 123⁰) / 47⁰]

  =24⁰

Despeje α:

α + β + γ = 180⁰

α=180⁰ - 123⁰ -24⁰

  =33⁰

Despeje a:

sen β / b=sen α / a

a=(b * sen α) / sen 123⁰

  =(47⁰ * sen 33⁰) / sen 123⁰

  =31 cm

Fuentes

• Raymond A. Barnett, Michael R. Ziegler, Karl E. Byleen. Precálculo: Funciones y Gráficas Volumen 2