Évariste Galois

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Évariste Galois
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Matemático Francés
NombreÉvariste Galois
Nacimiento25 de octubre de 1811
Bourg la Reine, Bandera de Francia Francia
Fallecimiento31 de mayo de 1832 (20 años)
París, Bandera de Francia Francia
ResidenciaFrancia
NacionalidadFrancesa
CiudadaníaFrancesa
Alma materEscuela Normal Superior de París, Liceo Louis-le-Grand
OcupaciónMatemático
PadresNicholas Gabriel Galoisy su madreAdelaide Marie Demante

Évariste Galois. Matemático francés nacido en Bourg-la-Reine. A pesar de su corta vida, su trabajo ofreció las bases fundamentales para la teoría que lleva su nombre. Fue el primero en utilizar el término "grupo" en un contexto matemático. La teoría constituye una de la bases matemáticas de la modulación CDMA utilizada en comunicaciones y, especialmente, en los Sistemas de navegación por satélite, como GPS y GLONASS.

Contenido

Reseña histórica

Entre los acontecimientos históricos que tuvieron mayor relevancia en la vida de Galois estuvo ciertamente la toma de la Bastilla, el 14 de julio de 1789. De aquí en adelante, la monarquía de Louis XVI se enfrentó a serias dificultades al unificarse la mayoría de los franceses con el propósito de destruir el poder de la iglesia y del gobierno.

A pesar de los esfuerzos de Louis XVI de llegar a un acuerdo, fue enjuiciado después de intentar huir del país. Tras la ejecución del Rey el 21 de enero de 1793, siguió un régimen de terror con muchos juicios políticos. A fines de 1793, había 4595 prisioneros políticos en París. Sin embargo, Francia comenzó a tener mejores tiempos cuando los ejércitos comandados por Napoleón empezaron a ganar batalla tras batalla.

Napoleón se nombró Primer Cónsul en 1800 y luego Emperador en 1804. Mientras el ejército francés proseguía la conquista de Europa, el poder de Napoleón se arraigaba cada vez más. En 1811 Napoleón se encontraba en su apogeo. El 25 de octubre de 1811, nació Évariste Galois en Bourg-la-Reine, un pequeño poblado al sur de París.

Vida

Su padre Nicholas Gabriel Galois y su madre Adelaide Marie Demante eran inteligentes y habían recibido una muy buena instrucción en Filosofía, Literatura clásica y Religión. Sin embargo, no hay evidencia de alguna habilidad matemática en ninguno de los miembros de la familia Galois. La madre de Galois fue la única instructora del niño hasta que éste cumplió los 12 años.

Le enseñó griego, latín y religión y conjuntamente con esto, le traspasó su propio escepticismo. El padre de Galois fue un importante miembro de la comunidad. y en 1815 fue elegido alcalde de Bourg-la-Reine.

En 1815 el reinado de Napoleón llegó su fin. La fallida campaña rusa fue seguida por derrotas siendo el 31 de marzo de 1814 el día en que los Aliados entraron a París. Napoleón abdicó el 6 de abril y Louis XVIII fue llevado al poder apoyado por los Aliados. Fue en 1815 cuando se presenciaron los famosos Cien Días. Napoleón invadió París el 20 de marzo, fue derrotado en Waterloo el 18 de junio y abdicó el 22 de junio por segunda vez. Louis XVIII fue reinstalado en el poder, sin embargo muere en septiembre 1824. Charles X tomó posesión de la corona.

Galois estaba en el colegio en esta época. Había sido matriculado en el Lycée Louis-le-Grand como interno en el 4to curso, el 6 de octubre de 1823. Durante el primer semestre de estudios hubo un levantamiento menor y 40 alumnos fueron expulsados del colegio. Galois no tuvo participación en estos hechos. Durante 1824-1825 fue distinguido por sus buenas calificaciones recibiendo numerosos premios. Sin embargo, en 1826 tuvo que repetir el año escolar por que su desempeño en retórica estaba bajo los estándares exigidos.

Génesis de un matemático

Febrero de 1827 fue decisivo en la vida de Galois. Tomó su primera clase de matemáticas, dictada por M. Vernier. Los estudios en la materia lo absorbieron de tal forma que su director de estudios escribió: "Lo domina la pasión por las matemáticas, pienso que lo mejor para él sería que sus padres lo dejaran estudiar nada más que esto. El está perdiendo su tiempo aquí y no hace nada más que atormentar a sus profesores y agobiarse con castigos".

Los informes escolares de Galois lo empezaron a describir como singular, excéntrico, original y hermético. Es curioso que quizás el matemático más original que haya alguna vez vivido haya sido criticado por ser original. El profesor M. Vernier no obstante escribió: Inteligencia, marcado progreso pero insuficiente método.

En 1828 Galois rindió examen en la École Polytechnique pero reprobó. Esta era la universidad más importante de París y es probable que Galois se haya visto motivado a ingresar a ella por razones académicas. Pero también deseaba entrar a esta institución por los fuertes movimientos políticos que existían entre sus estudiantes dado que Galois al igual que sus padres, era un ferviente Republicano.

De vuelta al Lycée Louis-le-Grand, Galois se incorporó a la clase de matemáticas de Louis Richard. Sin embargo, dedicó la mayor cantidad de tiempo a sus investigaciones personales en desmedro del trabajo escolar. Estudió la Géométrie de Legendre y los tratados de Lagrange. Richards escribió: Este alumno sólo trabaja en las más altas esferas de las matemáticas.

Trabajo Matemático

En abril de 1829 Galois publicó su primer trabajo de investigación sobre las fracciones continuas en los Annales de mathématiques. El 25 de mayo y el 1 de junio presentó artículos sobre soluciones algebraicas de ecuaciones a la Académie des Sciences. Cauchy fue designado como el examinador del trabajo de Galois.

La tragedia golpeó a Galois el 2 de julio de 1829 fecha en que su padre se suicidó. El reverendo de Bourg-la-Reine incluyó el nombre del alcalde Galois en maliciosos epigramas falsificados dirigidos a los familiares de Galois. El padre de Galois era un hombre bondadoso y el escándalo que se suscitó fue mayor de lo que él pudo soportar. Se colgó en su departamento de París ubicado a sólo unos pasos del Lycée Louis-le-Grand donde estudiaba su hijo. Esta muerte impactó fuertemente a Galois y marcó el resto de su vida.

Pocas semanas después de la muerte de su padre, Galois rindió, por segunda vez, los exámenes de ingreso a la École Polytechnique. Los reprobó por segunda vez en parte, quizás, por la dolorosa circunstancia en la que se encontraba o quizás, porque nunca tuvo facilidades para expresar sus profundas ideas matemáticas. Galois se resignó a ingresar a la École Normale la que era una continuación del Lycée Louis-le-Grand. Para tal efecto, tuvo que rendir sus exámenes de Baccalaureate, algo que habría evitado de haber ingresado a la École Polytechnique.

Galois pasó sus exámenes y se graduó el 29 de diciembre de 1829. Su examinador en matemáticas escribió: "Este alumno es a veces poco claro para expresar sus ideas. Sin embargo, es inteligente y tiene un notable espíritu de investigación".

Su examinador en literatura escribió: "Este ha sido el único alumno que me ha dado un examen pobre, no sabe absolutamente nada. Se me dijo, no obstante, que tiene un gran talento para las matemáticas. Esto me sorprende mucho ya que su desempeño me hace considerarlo de poca inteligencia".

Galois envió a Cauchy trabajos posteriores sobre la teoría de las ecuaciones, sin embargo, después supo por el Bulletin de Férussac que había un trabajo póstumo de Abel que coincidía con parte de su trabajo. Galois siguió los consejos de Cauchy y presentó un nuevo artículo titulado Condiciones en las que una ecuación pueda ser resuelta con radicales, en febrero de 1830. Este trabajo se envió a Fourier, el secretario de la Academia, para ser considerado para el Gran Premio en matemáticas. Fourier murió en abril de 1830 y el trabajo de investigación de Galois se extravió por lo que no pudo ser nunca nominado para el premio.

Galois después de haber leído los trabajos de Abel y Jacobi, se dedicó a desarrollar la teoría de las funciones elípticas y de los integrales abelianos. Con el apoyo de Jacques Sturm, publicó tres trabajos en el Bulletin de Férussac en abril de 1830. Sin embargo, en junio se enteró que se le iba a otorgar a Abel (póstumamente) y a Jacobi el premio de la Academia, sin haberse considerado nunca su propio trabajo.

Agitador Político

En julio de 1830 estalló la revolución. Charles X huyó de Francia. Hubo desórdenes en las calles de París y el director de la École Normale, M.Guigniault, encerró a los estudiantes para que no participaran en las manifestaciones. Galois intentó saltar la pandereta para unírseles, pero fracasó. En diciembre de 1830 M. Guigniault escribió artículos para el diario atacando a los estudiantes y Galois escribió una respuesta para la Gazette des Écoles contraatacando a M.Guigniault por haber encerrado a los estudiantes en el colegio. Galois tras haber sido expulsado del colegio por esta acción, se unió a la Artillerie de la Garde Nationale, una rama republicana de la milicia. El 31 de diciembre de 1830 se abolió la Artillerie de la Garde Nationale, por Decreto Real, por ser considerada por el nuevo Rey Louis-Phillipe como una amenaza al trono.

Dos trabajos de menor importancia, un abstract en los Annales de Gergonne (diciembre de 1830) y una carta sobre la enseñanza de la ciencia en la Gazette des Écoles (2 de enero de 1831) fueron las últimas publicaciones de su vida. Galois trató de volver a las matemáticas en enero de 1831. Organizó algunas clases de álgebra superior que atrajeron a 40 estudiantes a la primera sesión sin embargo, el interés decayó rápidamente. Poisson invitó a Galois a presentar a la Academia una tercera versión de su memoria sobre ecuaciones y así lo hizo el 17 de enero.

Sophie Germain escribió una carta a su amigo el matemático Libri el 18 de abril, en la que describió la situación de Galois: "La muerte de M. Fourier ha sido demasiado para el estudiante Galois quién a pesar de su impertinencia, ha mostrado ser despierto. Todo esto le ha hecho tanto daño que ha sido expulsado de la École Normale. No tiene dinero... Dicen que está enloqueciendo. Temo que sea cierto".

A finales de 1830, 19 oficiales de la Artillerie de la Garde Nationale fueron arrestados y acusados de conspirar contra el gobierno. Fueron absueltos y el 9 de mayo de 1831, 200 republicanos se reunieron en una cena para celebrar la absolución. Durante la cena Galois alzó su copa y con una daga descubierta en su mano amenazó abiertamente al Rey Louis-Phillipe. Finalizada la cena, Galois fue arrestado y encarcelado en la prisión Sainte-Pélagie. En su juicio, el 15 de junio, su abogado defensor alegó que Galois había dicho: A Louis-Phillipe, si traiciona...

Sin embargo, las últimas palabras se perdieron en el bullicio. Con todo, Galois aunque habiendo prácticamente repetido la amenaza contra Louis-Phillipe en el estrado, fue sorpresivamente absuelto.

Era el 14 de julio, día de La Bastilla, y Galois fue arrestado nuevamente. Estaba usando el uniforme de la Artillerie de la Garde Nationale, lo que era ilegal. Llevaba también consigo un rifle cargado, varias pistolas y una daga. Galois fue enviado de vuelta a la prisión de Sainte-Pélagie. Durante su confinamiento se le notificó que su memoria había sido rechazada. Poisson había informado que:
"Sus argumentos no son lo suficientemente claros ni lo suficientemente desarrollados como para juzgar su rigor".
Con todo, Poisson animó a Galois a publicar una más completa relación de su trabajo. Durante su confinamiento en la prisión de Sainte-Pélagie, Galois trató de suicidarse apuñalándose con una daga pero los otros prisioneros lo impidieron. Estando ebrio en prisión su alma clamó:
¿"Sabes mi amigo lo que me falta? Te lo confío solo a ti: es alguien a quien puedo amar y amo sólo en espíritu. Perdí a mi padre y nadie jamás lo ha reemplazado, ¿me oyes..."?

Días finales

En marzo de 1832 una epidemia de cólera barrió París, y los prisioneros, incluyendo a Galois, fueron transferidos al internado Sieur Faultrier. Fue allí donde al parecer se enamoró de Stephanie-Felice du Motel, la hija del médico residente. Tras ser liberado el 29 de abril, Galois intercambió correspondencia con Stephanie sin embargo, ella trató de distanciarse de aquella aventura. El nombre de Stephanie aparece varias veces en los manuscritos de Galois en notas al margen.

El 30 de mayo, Galois se batió a duelo con Perscheux d´Herbinville, las razones que motivaron este duelo no son claras pero se presume que estuvo ciertamente ligado a Stephanie.

Hay una nota al margen en el manuscrito que Galois escribió la noche anterior al duelo. Dice:
"Es preciso agregar algo a esta demostración. Yo no tengo el tiempo".
(Nota del autor).
Es esto lo que ha motivado la leyenda de que él pasó su última noche redactando lo que sabía acerca de teoría de conjuntos. Historia que parece ser algo exagerada.

Galois fue herido en el duelo y abandonado por d´Herbinville y sus propios padrinos. Fue encontrado por un campesino. Murió en el hospital de Cochin el 31 de mayo. Sus funerales fueron el 2 de junio. Esto fue el foco para un resurgimiento republicano. Le siguieron manifestaciones que se prolongaron por varios días.

Aportes matemáticos

El hermano de Galois y su amigo Chevalier copiaron sus trabajos matemáticos y se los enviaron a Gauss, Jacobi y otros. Había sido el deseo de Galois que Jacobi y Gauss dieran una opinión sobre su obra. No hay evidencia de ningún comentario que éstos hayan hecho. Sin embargo, los trabajos llegaron a manos de Liouville quien en septiembre de 1843 comunicó a la Academia que había encontrado en uno de los trabajos de Galois una solución concisa:

Tan cierto como profundo es este entrañable problema: dada una ecuación irreductible de primer grado, decidir si es o no solucionable con radicales.

Liouville publicó estos trabajos de Galois en su Journal en 1845.

Teoría de Grupos

Aunque no es fácil desligar en absoluto la creación intelectual de un hombre de ciencia de su vida pública o privada, es posible que por su propia índole, tal desvinculación sea más frecuente en la matemática que en las demás ciencias. Sin embargo, quizás no haya otro ejemplo de influencia, a la vez decisiva y desdichada, de los acontecimientos públicos y privados de una vida sobre la propia actividad creadora, que en el caso de Évariste Galois.

En 1829 y 1830 hace conocer sus primeros trabajos sobre fracciones continuas, cuestiones de análisis y teoría de las ecuaciones, y teoría de números. En 1831, con el propósito de dedicarse a la enseñanza privada, anuncia un curso de álgebra superior que abarcaría “una nueva teoría de los números imaginarios, la teoría de las ecuaciones resolubles por radicales, la teoría de números y la teoría de las funciones elípticas tratadas por álgebra pura ”. Luego de esto Galois redacta una memoria, hoy llamada “Teoría de Galois”, que remite a la Academia y que Poisson la califica de “incomprensible”.

Sólo en 1846 se conoció gran parte de los escritos de Galois por obra de Joseph Liouville, y completó la publicación de sus escritos Jules Tannery a comienzos de este siglo. en ellos asoma ya la idea de “cuerpo”, que luego desarrollaron Riemann y Richard Dedekind, y que Galois introduce con motivo de los hoy llamados “imaginarios de Galois”, concebidos con el objeto de otorgar carácter general al teorema del número de raíces de las congruencias de grado n de módulo primo. Es en estos escritos donde aparecen por primera vez las propiedades más importantes de la teoría de grupos (nombre dado por Galois) que lo convierten en su cabal fundador.

Sin duda que la noción de grupo, en especial de grupo de substituciones que constituye el tema central de Galois, estaba ya esbozada en los trabajos de Lagrange y de Vandermonde del siglo XVIII, y en los de Gauss, Abel, Ruffini y Cauchy del XIX, implícita en problemas de teoría de las ecuaciones, teoría de números y de transformaciones geométricas, pero es Galois quien muestra una idea clara de la teoría general con las nociones de subgrupo y de isomorfismo.

Aunque la teoría de grupos sigue encontrando aplicaciones Arthur Cayley, la aplica en 1854 a la teoría de los cuaternios, y William Rowan Hamilton, en 1856, a los poliedros regulares. fue en el Tratado de substituciones, de Camille Jordan, publicado en 1870, donde la teoría de Galois pone de relieve su valor como factor unificador de sectores diversos de la matemática, y en la obra de Ernest Steinitz de 1910, donde entra en su faz moderna.

Dos matemáticos que asistieron a las clases de Jordan: Felix Klein y Marius Sophus Lie, pusieron de manifiesto ese poder unificador y sistematizador de la teoría.

Combinando el desarrollo alcanzado por las geometrías no euclideanas y la geometría proyectiva con la teoría de los invariantes y la teoría de grupos, Klein expone en su Programa de Erlangen, en 1872, mediante grupo y subgrupos, una sistematización y jerarquización de todas las geometrías, concibiendo como objeto de cada geometría el descubrimiento de propiedades invariantes respecto de un determinado grupo de transformaciones y considerando cada geometría como subgeometría de otra a la que se adjunta cierta figura básica, que debe quedar invariante. Más tarde, en 1884, ofreció un ejemplo de dos grupos isomorfos: el de las rotaciones del icosaedro regular y el de la ecuación de quinto grado.

Mientras Klein estudia grupos discontinuos, Sophus Lie aborda, a partir de 1872, el estudio de los grupos continuos de transformaciones y su clasificación y aplicación a la integración de las ecuaciones diferenciales con derivadas parciales. Sus trabajos y los de sus discípulos aparecieron hacia fines de siglo.

La teoría de grupos culmina hacia 1880 al aparecer la teoría de los grupos abstractos, que confiere a la teoría iniciada por Galois los caracteres de estructura algebraica. Como tal estructura, y en virtud del isomorfismo, un grupo puede entonces estudiarse ora bajo el aspecto particular de uno de sus modelos o interpretaciones, ora bajo su forma general puramente abstracta como resultado de un proceso de rasgos propios, específicos de la matemática de hoy, que evidencia que la misma abstracción, signo de la matemática de todas las épocas, ha cambiado o evolucionado a través de los tiempos.

Por supuesto que la geometría Griega es una ciencia abstracta por cuanto no se refiere a objetos del mundo sensible, sino del mundo de las formas o ideas en el sentido platónico, y por tanto concebidos mediante un proceso de abstracción que parte de los objetos del mundo exterior y que otorga a esa geometría sus típicos rasgos de ciencia visual y táctil y su alusión a los cuerpos visibles, aunque sólo lo sean, como diría Platón, a los ojos de la inteligencia.

A partir del siglo XVII el algoritmo algebraico introduce en la matemática una abstracción más refinada, diríase de segundo grado: las letras y símbolos que ahora inundan los textos de estas disciplinas son abstracciones de entes y operaciones, a su vez abstractos, pero que, en definitiva, aluden a entes concretos: números, figuras u objetos físicos que se incorporan al proceso de abstracción y lo matizan.

En cambio, la abstracción a que aluden los grupos abstractos es de una índole distinta de las anteriores. Es el resultado de un proceso característico de la matemática de hoy y que se manifestó contemporáneamente en otros sectores, proceso que elimina toda referencia a entes concretos, que prescinde por completo de la “naturaleza” de lo que en él interviene, para no dejar sino el esqueleto formal de entes y relaciones abstractos que definen la estructura. En el caso del grupo de Galois ese proceso descarnó el grupo de sustituciones, punto de partida del proceso, para convertirlo en un grupo abstracto que logra así su máxima generalización, ya que el grupo de sustituciones o cualquier grupo isomorfo con él, no es sino modelo o interpretación del mismo.

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