Aritmética de Punto Flotante
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En Ciencia de la Computación, la aritmética de punto flotante (APF) se emplea para representar números reales en las computadoras utilizando la notación científica.
Sumario
Representación.
Una aritmética de punto flotante se representa como:
F=(β, p, m, M)
donde β representa la base del exponente, p la precisión o mantisa, m el menor exponente posible y M el mayor exponente posible.
Un ejemplo de aritmética de punto flotante sería F = (10, 3, -9, 99), donde se representan números con base 10 y mantisa 3. El menor exponente posible sería -9 y el mayor sería 99. A esta APF específica podríamos llamarle F3 o F3.
Los números que pueden representarse de forma exacta se conocen como flotantes y se representan como fl(x), siendo x un número real cualquiera.
Una aritmética de punto flotante se dice que está normalizada si
∀ f ∈ F, donde f = . β1 β2...βpEk, se cumple que: β1 ≠ 0.
O sea, si el primer dígito de todos los flotantes es diferente de cero. La aritmética que se emplee debe estar normalizada para garantizar que todo número se represente de forma única.
El mayor dígito de una aritmética de base β es β - 1. Así, el mayor dígito de la aritmética F3 es el 9. El mayor número representable en una aritmética de punto flotante es:
.β-1 β-1...β-1EM
donde β-1 se repite p veces, siendo p la precisión de la APF. Es así que el mayor representable de F3 es .999E99.
El menor representable sigue una idea análoga, tal que se escribe como:
.10...0Em
donde los 0 se repiten p-1 veces. Esto es equivalente a decir que el menor número representable es
βm-1 = 1 × βm−1 = 0,1βm
Los números negativos se representan de igual forma que los no negativos, salvo que se reserva un bit de memoria para el signo y no forma parte de la mantisa.
Overflow y Underflow.
Cuando en la computadora se quiere representar un número real menor que el menor número representable, ocurre un error llamado underflow. En estos casos, se reemplaza el número con 0. Contrariamente, cuando se desea hacer referencia a un número mayor que el mayor representable, ocurre un overflow, representándose con infinito (∞).
Otras representaciones numéricas.
Existen otros casos especiales de representaciones que no constituyen un número, como es el resultado de realizar operaciones que involucren el ∞ y el 0. La operación ∞ - ∞ dejaría como resultado algo desconocido que no es número, y es en estos casos cuando se representa como NaN (del inglés: Not a Number. Traducción: no es un número). Otros ejemplos de operaciones que producen como resultado NaN son:
- ∞ * 0
- ∞ / ∞
- ∞ / -∞
Espaciamiento y Épsilon de la máquina.
Espaciamiento.
El espaciamiento se define como la distancia que existe entre un flotante y su sucesor. En una aritmética de punto flotante F = (β, p, m, M), siendo .β1β2...βpEk un flotante cualquiera, el espaciamiento de un número con exponente k se calcula como:
βk-p
Mientras más grande sea el número, mayor será el espaciamiento, pero mientras mayor sea la precisión de la aritmética, menor va a ser esa distancia.
Épsilon de la máquina.
El épsilon de la máquina se define como el espaciamiento que existe entre el número 1 y su sucesor. Se calcula como: ε = β1-p
Fuentes.
- Facultad de Matemática y Computación (UH), Ciencia de la Computación, Matemática Numérica Curso 2021, Conferencia # 1.0000000000000002.
- https://cs.uns.edu.ar/~ldm/mypage/data/oc/apuntes/2019-modulo4.pdf
