Campo numérico
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Teniendo el sistema de los números naturales N = {1,2, ..., n,...} es posible definir estrictamente tres operaciones: adición, multiplicación y potenciación. Sin embargo, no es posible que la resta a-b y b-a sean ambos resultados en números naturales. Precisamente, para que siempre exista la resta de dos números naturales, N se amplia en el conjunto Z de los números enteros adjuntando a N el 0 y los números negativos. Pero en Z el cociente m/n y n/m no existen o en el mejor de los casos sólo uno de ellos. Siendo 2 y 3 números enteros, 2/3 ni 3/2 son enteros; para 10 y 5, existe el entero 10/5 =, mas no 5/10. Este problema se resuelve adjuntando a Z las fracciones a/b donde b no es cero. De modo que en el conjunto Q de los números racionales se puede efectuar la adición, la resta, la multiplicación y la división, siempre que el divisor no sea cero.
Definición
Un anillo numérico se llama campo numérico siempre y cuando existe el cociente de dos de sus elementos cualesquiera, exigiendo que el divisor sea diferente de cero.
Entre los campos numéricos se tiene el conjunto Q de los números racionales, el conjunto R de los números racionalae, el conjunto C de los números complejos.
Proposición
El campo de los números racionales está íntegramente incluido en cualquier campo numérico.
Sea dado un campo numérico denotado por K, si s es un número cualquiera de K y diferente de cero, existe en K el cociente s/s = 1. Sumando unas cuantas veces consigo mismo se obtiene cualquier número natural. Existe la diferencia s-s = 0 y portando la diferencia 0- n que es un entero negativo, para n que es un número natural. Por último en el conjunto K están contenidos los cocientes de los números enteros, esto es los números racionales. De modo que el cuerpo numérico Q es parte del campo numérico K. [2]
Campos en el conjunto de los números complejos
- Sea el conjunto H cuyos elementos son de la forma a + b(2)1/2 donde a y b son números racionales es un campo numérico, para b = 0, se tiene que el conjunto Q de los números racionales está incluido en el conjunto H.
- Se obtiene el cociente [a + b(2)1/2]/[c + d(2)1/2] = m + n(2)1/2, donde m y n son números racionales. Se obtiene la racionalización de los coeficientes al multiplicar por c - d(2)1/2, tanto al numerador y al denominador y, luego, llevar a la forma binomial, cuyo segundo término involucra un radical cuadrático.
- Sea el conjunto S cuyos elementos asumen la forma trinomia de radicales: m + n(5)1/3 +p(25)1/3 donde los coeficientes m, n y p son números racionales.
El conjunto S es un campo numérico.
