Conjunto numerable

Conjunto numerable: Fundamentalmente en Teoría de Conjuntos, un conjunto X se llama numerable en el caso de que exista una biyección entre el conjunto N de los números naturales y el conjunto X . Siendo N = {0, 1,2,3,...}.

Definición

Diremos que X es conjunto numerable si existe una función h biyectiva de N (naturales) en X.

Ejemplos

• El conjuntos P de todos los números naturales pares.
• El conjunto de todos los enteros positivos t tal que t² ≥ 25.
• El propio conjunto Z de todos los números enteros, tanto los positivos, como los negativos y el cero.
• El conjunto Q de todos los números racionales.
• El conjunto A de todos los números algebraicos; estos son los números complejos que son raíces de una ecuación algebraica.
• El conjunto de todas las fracciones m/n que son equivalentes a la fracción 3/7.
• El conjunto de todas las cifras decimales en el desarrollo de raíz cuadrada de 8.
• El conjunto de todos los números racionales que están en el intervalo abierto <0, 1 > .

Proposiciones

1. Principio del mínimo entero. Todo conjunto no vacío de números naturales tiene un menor elemento. Se considera, en algunos contextos como axioma, sin embardo en la axiomática de Peano es un teorema.
2. Si el conjunto K , subconjunto del conjunto N de todos los números naturales, es infinito, entonces el conjunto K es numerable.
3. Sea Y un conjunto numerable y K , subconjunto de Y y subconjunto infinito. En tal caso, K es numerable.

Axioma de elección

Dado un conjunto M cualquiera no vacío, existe una función f que pone en correspondencia a todo subconjunto no vacío A de M un elemento determinado f(A) de este subconjunto.

Lema.

Sean T y S conjuntos no vacíos. Si f una función de T en S es suryectiva, entonces existe una función inyectiva g de S en T tal que f(g)(x) = id_S(x) .

1. Proposición.Si se da una función suryectiva f de N en S, entonces S es un conjunto finito o conjunto numerable.
2. Proposición.El conjunto N × N es un conjunto numerable.
3. Proposición.Si K es un conjunto numerable entonces K×Kes un conjunto numerable.
4. Proposición.Sea S_nuna sucesión de conjuntos numerables, entonces la unión de todos tales conjuntos desde 1 hasta ∞ es numerable.
5. Proposición.Siendo C un conjunto finito o numerable , entonces la familia de todas las sucesiones finitas de elementos de C también es familia finita o numerable.

Conjunto contable

Un conjunto C se llama contable si C es conjunto finito o conjunto numerable.

Advertencia

Si h es una función suryectiva de N sobre S, entonces el conjunto S es contable.

Conjuntos equipotentes

Dos conjuntos G y H se llaman equipotentes si existe una biyección q entre los conjuntos G y H .

Proposición de Schroeder- Bernstein

Sean dos conjuntos G, H: Entonces G son equipotentes si y sólo si existen dos funciones inyectivas: f de G en H y k de H en G.

Infinito no numerable

El intervalo [0, 1] de números reales no es numerable.

Temas vinculados

• Conjunto infinito

Fuentes

1. A. N. Kolgomorov y S. V. Fomín. Elementos de la teoría de funciones y análisis funcional. Editorial MIR, Moscú, 1972. Traducido del ruso por Carlos Vega.
2. Mauro Chumpitaz. Teoría de la medida. Editorial Hozlo S.R. L - Auspicio de Concytec. S/f.