Ecuación Exponencial

Concepto: Las ecuaciones exponenciales son aquellas en las que la incógnita aparece en los exponentes de potencias con base constante.

Ecuación Exponencial: Se conoce como ecuación exponencial a una ecuación donde la incógnitas forman parte solo de los exponentes de potencias para ciertas bases constantes. Usualmente la letra x es la incógnita, pero se puede usar cualquier letra. Por ejemplo,

125^{2x + 5} = 625^x+4

Formas de resolución

Las ecuaciones exponenciales más simples cuya solución se reduce a la de una ecuación algebraica son las del tipo a^f(x) = b y a^f(x) = b^g(x), siendo f(x) y g(x) las expresiones algebraicas de los exponentes en las que aparece la incógnica x.

Ejemplos

• 8^x = 512
• 3^2x = 27

Para resolver una ecuación exponencial se debe tener en cuenta:

• La base es positiva: a > 0
• La solución de la ecuación exponenciale con la forma a^f(x)= a^g(x) es la solución (o soluciones) de la ecuación f(x) = g(x). Esto se debe a que dos potencias con la misma base son iguales si y sólo si sus exponentes son iguales.
• Las propiedades de las potencias.

Depende del tipo de ecuación exponencial de la que se trate, hay diversas formas de resolverla, por su nivel de complejidad.

Como resolver una ecuación exponencial

•Por simple inspección, es decir se descompone la parte numérica en sus factores primos.

•Aplicando logaritmo a ambos lados de la igualdad.

•Realizar correctamente las operaciones indicadas.

•Comprobar resultado

Solución de las Ecuaciones Exponenciales

Existen dos métodos fundamentales de resolución de las ecuaciones exponenciales.

1. Reducción a una base común

Si ambos miembros de una ecuación se pueden representar como potencias de base común a donde a es un número positivo, distinto de 1. Se busca una igualdad entre las potencias y se igualan los exponentes para obtener una ecuación.

Ejemplo

9^x - 27 = 0

Se escribe 9 como la potencia 3² y 27 como la potencia 3³:

(3²)^x - 3³ = 0

Se aplican las propiedades de las potencias:

3^2x - 3³ = 0

Se escribe en forma de igualdad entre potencias de la misma base:

3^2x = 3³

Se igualan los exponentes para obtener una ecuación:

2x = 3

La solución de la ecuación de primer grado es x = 3/2. Esta solución es la solución de la ecuación exponencial.

2. Aplicación de logaritmos

Se aplican logaritmos a conveniencia en ambos lados de la ecuación y se procede con las transformaciones algebraicas y las leyes de logaritmos conocidas.

Ejemplo 1

4^x = 25

Se escribe 4 como 2² y 25 como 5²⁵:

2^2x = 5²

No se deben igualar los exponentes puesto que las bases son distintas (una es 2 y la otra es 5). Se aplica logaritmos (de base 2) en la ecuación:

log₂(2^2x) = log₂(5²)

Se aplican las propiedades de los logaritmos:

2x= 2· log₂(5)

Se simplifica:

x= 2·log₂(5)/2

x= log₂(5)

Por tanto, la solución de la ecuación exponencial es x= log₂(5).

Ejemplo 2

Para resolver una ecuación exponencial se pueden aplicar logaritmos en base distinta a las bases de las exponenciales de la ecuación. En la ecuación 2^2x = 5² pueden aplicarse, por ejemplo, logaritmos en base 10:

log(2^2x) = log(5²)

Se aplican las propiedades de los logaritmos:

2x·log(2) = 2·log(5)

Se despeja la incógnita:

x= log(5)/log(2)

Fuentes

• Resolución de ecuaciones exponenciales (matesfacil.com)
• Ecuación exponencial (Wikipedia.org)

Véase también

• Potencias
• Logaritmos