Grupo topológico
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Grupo topológico. Desde la perspectiva lógica, resulta como la fundición de los conceptos de grupo y de espacio topológico. En un mismo conjunto H se definen, conjuntamente, las operaciones de multiplicación de grupo y de adherencia topológica. Sin embargo, estas operaciones están vinculadas por el requisito de continuidad: las operaciones de grupo que existen en H deben ser continuas en el espacio toplógico H.
Historia
En la sucesión histórica de las ideas, el concepto de grupo topológico apareció vinculado al estudio de grupos de transformaciones continuas. Cuando en espacio euclídeo, por decir, se establecen un grupo de aplicaciones continuas, en este mismo grupo, emergen de manera natural, unas relaciones de límite. Este grupo se transforma en grupo topológico. El avance de las investigaciones situó que las más importantes propiedades consideradas se basan, netamente, en las relaciones de límite que hay en el mismo grupo, al margen de del caso de que el grupo considerado sea un grupo de transformaciones.
Definición
Un conjunto H se denomina grupo topológico si
- H es un grupo, esto es un sistema algebraico con una ley de composición interna.
- H es un espacio topológico.
- Las operaciones de grupo definidas en H son continuas en el espacio topológico H. En forma más cabal, esta formalidad puede expresarse, como sigue:
- gt1. Si c y d son elementos del del conjunto H, para toda vecindad W del elemento ab existen unas vecindades U y V de a y b respectivamente, tales que UV ⊂ W.
- gt2. Si c es un elemento del conjunto H, para toda vecindad V de del elemento c-1, existe una vecindad U del elemento ctalque U-1 ⊂ V. Sin embargo las dos condiciones anteriores se puede sintetizar de modo único:
- gt3. Si c y d son dos elementos del conjunto H, para toda vecindad W del elemento cd-1, existen unas vecindades de los elementos c y d tales que UV-1 ⊂ W.
Fuentes
- L.S. Pontriaguin. Grupos continuos. Editorial MIR, Moscú, 1978.
- A. D. Aleksandrov, A.N. Kolmogórov, M. A. Laurentiev y otros. La matemática: su contenido, método y significado. Alianza Universidad, Madrid, 1981.
