Método de las componentes simétricas
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Método de las componentes simétricas. El método de las componentes simétricas es una herramienta matemática para la solución práctica de problemas en circuitos trifásicos bajo condiciones de asimetría. Con este método, un conjunto de variables asimétricas (corrientes, voltajes, o flujos magnéticos) puede resolverse, descomponiéndoles en varios sistemas simétricos cuyo número será igual al número de fases del sistema. Estos sistemas simétricos que comprenden al sistema asimétrico original se denominan sus componentes simétricos.
Sumario
Secuencias de fase
Los componentes simétricos difieren en la secuencia de fase, es decir, el orden en el tiempo en que las componentes de fase pasan por un máximo. Puede haber una secuencia de fase positiva, una secuencia de fase negativa, y una secuencia de fase cero. Considere un sistema trifásico[1] de componentes (corrientes, voltajes, o flujos magnéticos) designadas A, B y C para la generalidad. Los componentes de secuencia de fase se denominarán: positiva, negativa y secuencia cero y se enumerarán "1", "2" y "0", respectivamente. En la Fig. 1 se muestra el diagrama vectorial para las tres secuencias de fase de los componentes simétricos.
Orden de las secuencias de fase
El orden en que las fases pasan por un máximo en un sistema de secuencia de fase positivo es ABC. El orden en que las fases pasan por un máximo en un sistema de secuencia de fase negativo es ACB. En un sistema de secuencia cero las componentes son todas iguales y están en fase, o sea, que sus vectores coinciden. Para estas tres secuencias de fase, se puede escribir:
B1 = A1 e –j2π / 3, C1 = A1 e +j2π / 3 (1)
B2 = A2 e +j2π / 3, C2 = A2 e -j2π / 3 (2)
Ao = Bo = Co (3)
Operador de fase
El número complejo e +j2π / 3 en estas expresiones se llama operador de fase, se simboliza con la letra a y se define como:
a = e +j2π / 3 = e –j4π / 3= cos (2π / 3) + j sin (2π / 3)= -1/2 + j√3/2 (4)
La multiplicación por a adelanta la posición del vector en sentido contrario a las agujas del reloj en 1/n de una revolución (o sea 120° para un sistema trifásico) o en dirección contra reloj en 2/n de una revolución (o sea 240°)
a2 = e j 2π / 3 e j 2π / 3 = e j 4π / 3 = e –j 2π / 3 = -1/2 – j √3/2 (5)
La multiplicación por a2 adelanta la posición del vector por 2/n de una revolución en dirección hacia adelante o por 1/n de una revolución en la dirección inversa.
Usando al operador de fase, las ecuaciones (1) y (2) pueden rescribirse así:
B1 = a2 A1, C1 = a A1 (6)
B2 = a A2, C2 = a2 A2 (7)
Considere algunas de las relaciones que para este operador de fase serán de uso más adelante:
a3 = e j 2π = 1 (8)
Utilizando (8) se puede excluir cualquier potencia de a superior a la segunda, así:
a4 = a 3 a = a, a5 = a3 a2 = a2, etc.,
Como se infiere de las ecuaciones (4) y (5): 1, a y a2 forman un sistema simétrico de vectores unitarios (Fig. 2). Su suma es:
1 + a + a2 = 0 (9)
Ahora se puede demostrar que cualquier sistema asimétrico de vectores A, B y C puede resolverse en un sistema de componentes simétricos que contiene secuencias: positiva, negativa y cero. En ese caso:
A = A1 + A2 + A0 (10)
B = B1 + B2 + B0 (11)
C = C1 + C2 + C0 (12)
Expresión de los vectores de los sistemas simétricos
Todos los vectores de los sistemas simétricos se pueden expresar en estas ecuaciones hipotéticas, utilizando los términos A1, A2 y A0, según las ecuaciones (3), (6) y (7):
A=A1+A2+A0 (13)
B=a2A1+aA2+A0 (14)
C=aA1+a2A2+A0 (15)
De estas ecuaciones se pueden determinar los vectores A1, A2 y A0, lo cual de hecho demuestra la posibilidad de resolver un sistema asimétrico de vectores A, B y C en tres sistemas simétricos.
Sumando las ecuaciones (13) a la (15) se obtiene
A + B + C = (1 + a2 + a) A1 + (1+ a + a2) A2 + 3Ao
Note que de la ecuación (9), se determina que
A0=1/3 (A + B +C) (16)
Multiplicando (14) por a2 y (15) por a y sumando entonces desde (13) a la (15), se encuentra:
A1 = 1/3 (A + a B + a2 C) (17)
Multiplicando (14) por a2 y (15) por a y sumando entonces desde (13) a la (15), se encuentra:
A2 = 1/3 (A + a2 B + a C) (18)
De tal manera han quedado determinadas las ecuaciones para calcular las componentes A0, A1 y A2
Algunas propiedades de circuitos trifásicos con respecto a los componentes simétricos de corrientes y voltajes
- En el conductor neutro la corriente es igual a la suma de las corrientes de línea y es consecuentemente igual a tres veces el componente de la secuencia cero de corriente (ver 16).
- La suma de los voltajes de línea es cero. Por consiguiente losvoltajes de línea no contienen componentes de la secuencia cero.
- Los componentes simétricos de secuencia de fase positiva (PPS) y negativa (NPS) de los voltajes de fase de una carga conectada en estrella están solamente relacionados con sus respectivos componentes simétricos de los voltajes de línea aplicados. Así los voltajes de fase de varias cargas conectadas en estrella, dados los mismos voltajes de la línea, tendrán idénticos PPS y NPS de sus componentes simétricos y sólo pueden diferir en sus componentes simétricos de fase cero (ZPS).
Otras propiedades de estos circuitos se pueden encontrar en: Propiedades de los circuitos trifásicos para las componentes simétricas.
Enlaces externos
Fuentes
- Ayllón Fandiño, E. (1987). Fundamentos de la teoría de los circuitos eléctricos II. La Habana: Pueblo y Educación.
- Bessonov, L. A. (1984). Teoreticheskie osnovi electrotejniki. Moscú: Vysshaia shcola.
- Evdokimov, F. E. (1981). Teoreticheskie osnovi electrotejniki. Moscú: Vysshaia shcola.
- Kasatkin, A. S., Nemtsov, M. V. (1983). Electrotejnika. Moscú: Energoatomizdat.
- Kerchner, R. M., Corcoran, G .F. (1975). Circuitos de corriente alterna. La Habana: Pueblo y educación.
- Neiman, L. R., Demirchian, L. R. (1981). Teoreticheskie osnovi electrotejniki. Leningrado: Energoizdat.
- Zeveke, G. V. (1979). Analysis and synthesis of electric circuits. Moscú: Mir.
