Tetraedro regular
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Tetraedro regular. Poliedro convexo regular de cuatro caras iguales.
Sumario
Elementos
- Número de caras: cuatro; que justifica el nombre de este sólido (el término griego tetra significa ‘cuatro’).
- Número de aristas: seis; cada tres de ellas en un mismo plano; y cada tres de aquellas convergen en un único vértice.
- Número de vértices: cuatro; tres caras concurren en un único vértice. En cada vértice hay un ángulo triedro y hay tres ángulos diedros iguales.
- Centro, el punto interior que equidista de las caras.
- Apotema: la altura de cualquiera de sus caras
- Altura es el segmento trazado del vértice a la cara opuesta. Hay cuatro alturas de igual longitud y tienen un punto común.
- No tiene diagonal.
- Característica de Euler: C + V = A + 2, 4 + 4 = 6 +2.
- Un plano paralelo a una base determina un tetraedro regular semejante al original.
- Si se considera como una pirámide y una de las alturas como eje, se forma un grupo cíclico de tres rotaciones: 120º, 240º y 360º.[1]
Medidas
- Altura
Esta es la distancia de un vértice a la cara opuesta.
- h = a/3×(6)½, donde a es la longitud de la arista.
- Área de la superficie total
Es cuatro veces el área de un triángulo equilátero, cuyo lado mide lo mis que la arista del sólido en mención.
- A = a2(3)½
- Volumen
Se puede considerar como una pirámide regular , cuya altura se conoce en función de la arista y la base piramidal es una región triangular, también se conoce.
Aplicando la fórmula V = ⅓h×B, resulta:
- V = ⅓×( a/3×(6)½)×(¼ × a2(3)½) = 1/12×a3× (2)½
Topología
- Interior
Es el conjunto de todos los puntos interiores de un tetraedro. Un punto I del espacio o R3, es un punto interior, si por el punto se traza una recta cualquiera y corta a dos de sus caras en los punto J y K, entonces el punto I está entre J y K. El interior es un conjunto abierto.
- Frontera
Un punto es punto frontera del tetraedro si está en cualquiera de sus caras, consideradas como regiones triangulares equiláteras.
- Adherencia
La adherencia es la unión del interior con la frontera. La adherencia, llamada también clausura, es un conjunto cerrado. [2]
- Exterior
Es el conjunto de todos los puntos que no están en ninguna de las caras ni en el interior del tetraedro.
- Punto de acumulación.
Cualquier punto de una cara o del interior del tetraedro es un punto de acumulación, también es conocido como punto límite.
- Conjunto derivado
Es el conjunto de todos sus puntos de acumulación; en el presente caso coincide con la adherencia del sólido en estudio.
Proposiciones y propiedades geométricas
- Semejanza
Si se traza un plano paralelo a una cara cualquiera y que corte a tres aristas resulta un triángulo semejante a la cara, y, además resulta un tetraedro con una cara en el plano secante, y semejante al tetraedro original.
- Inscripción
Un tetraedro regular se puede inscribir en una esfera; de modo que los cuatro vértices estén en la superficie esférica.
- Circunscripción
Un tetraedro se puede circunscribir a una esfera
- De las aristas opuestas
En cualquier tetraedro regular las aristas opuestas son perpendiculares.
- Distancia entre aristas opuestas
Dado un tetraedro regular cualquiera, la distancia entre dos aristas opuestas es igual al producto de la longitud de la arista por la raíz cuadrada de dos.
- Relación entre diversos radios
En todo tetraedro se cumple que la relación entre los radios de las esferas inscrita, circunscrita y exinscrita es de 1 a 3 a 2, respectivamente. [3]
Fuente bibliográfica
- Luis ARBULÚ MARIÑOS: Poliedros regulares, Geometría. Lumbreras Editores, Lima (2015) ISBN 978-612-307-466-1
