Diferencia entre revisiones de «Anillo simple»
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| − | Un [[anillo artiniano]] A se denomina '''simple''' cuando A ≠ 0 y cuando A no posee ideales biláteros propios; siendo así, los únicos ideales bilateros de A son 0 y A.<ref name=Artibano_Micali>[[Artibano Micali|Micali, Artibano]] (1983): ''Estructuras algebraica VII (estructuras de álgebras)''. Wáshington DC: Secretaría General de OEA, 1983.</ref> | + | Un [[anillo artiniano]] A se denomina '''simple''' cuando A ≠ 0 y cuando A no posee ideales biláteros propios; siendo así, los únicos ideales bilateros de A son 0 y A.<ref name=Artibano_Micali>[[Artibano Micali|Micali, Artibano]] (1983): ''Estructuras algebraica VII (estructuras de álgebras)''. [[Wáshington DC]] (Estados Unidos): Secretaría General de la [[Organización de Estados Americanos|OEA]], 1983.</ref> |
| − | Por ser el radical de un anillo un ideal bilátero, se sigue que todo anillo simple es semisimple. Pero hay casos de anillos semisimples que no son simples. Sucede que un anillo simple A no es necesariamente un A-módulo a la izquierda (o a la derecha). | + | Por ser el radical de un [[anillo]] un ideal bilátero, se sigue que todo [[anillo (álgebra)|anillo simple]] es semisimple. Pero hay casos de anillos semisimples que no son simples. Sucede que un anillo simple A no es necesariamente un A-módulo a la izquierda (o a la derecha).<ref>[http://www.math.unam.mx/javier/cap4.pdf Capítulo 4] de algún libro (no nombrado), publicado en el sitio web del Instituto de Matemáticas de la [[UNAM]] (Universidad Nacional Autónoma de México). Sin referencias de año o lugar.</ref> |
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| − | Un anillo es semisimple | + | Un anillo es semisimple solo si es el producto directo de un número finito de anillos simples. |
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última versión al 05:32 10 feb 2018
Un anillo artiniano A se denomina simple cuando A ≠ 0 y cuando A no posee ideales biláteros propios; siendo así, los únicos ideales bilateros de A son 0 y A.[1] Por ser el radical de un anillo un ideal bilátero, se sigue que todo anillo simple es semisimple. Pero hay casos de anillos semisimples que no son simples. Sucede que un anillo simple A no es necesariamente un A-módulo a la izquierda (o a la derecha).[2]
Sumario
Afirmaciones
Proposición
Un anillo A es simple solo si A se descompone como suma directa de ideales a la izquierda minimales, todos isomorfos entre sí como A- módulo a la izquierda.
Consecuencia
Un anillo es semisimple solo si es el producto directo de un número finito de anillos simples.
Lema
Sean A un anillo con división y M un A-módulo libre de rango n. Entonces el anillo End_{A} (M) de los A- endomorfismos de M es simple.[1]
Ejemplo
El lema precedente señala que si F es un campo conmutativo, el anillo A = M_n (F) de matrices cuadradas nxn con coeficientes en F es un anillo simple; o sea que no tiene otros ideales biláteros que 0 y A, aunque sí posee ideales a la izquierda no nulos propios. Ello expresa que A es simple como anillo, mas no como A-módulo a la izquierda.
Véase también
- Anillo artiniano
- Anillo booleano
- Anillo cíclico
- Anillo cociente
- Anillo conmutativo
- Anillo de conjuntos
- Anillo de división
- Anillo de fracciones
- Anillo de los números enteros
- Anillo de polinomios
- Anillo local
- Anillo noetheriano
- Anillo ordenado
- Anillo primo
- Anillo trivial
- Anillo unitario
Fuentes
- ↑ 1,0 1,1 Micali, Artibano (1983): Estructuras algebraica VII (estructuras de álgebras). Wáshington DC (Estados Unidos): Secretaría General de la OEA, 1983.
- ↑ Capítulo 4 de algún libro (no nombrado), publicado en el sitio web del Instituto de Matemáticas de la UNAM (Universidad Nacional Autónoma de México). Sin referencias de año o lugar.
- Fraleigh, John B. (1987): Álgebra abstracta. Wilmington (Delaware): Adison-Wesley-Iberoamericana, 1987.
