Anillo (álgebra)

Anillo algebraico Concepto: Estructura algebraica de un conjunto no vacío y dos operaciones *, @ sobre éste cerradas y asociativas, * es conmutativa y en ella se verifica la existencia del neutro y los inversos para cada elemento del conjunto y juntas * y @ satisfacen la distributividad.

Anillo. En caso de posibilidad de confusión (anillo topológico) o si se trata de destacar las dos operaciones ínsitas a su estructura, es llamado también anillo algebraico . En álgebra, un anillo es cualquier conjunto R no vacío con dos operaciones de composición interna, siendo con la primera un grupo abeliano y la segunda operación asociativa y además distributiva respecto de la primera.

Si se da la situación de que la segunda operación sea conmutativa se le nombra anillo conmutativo y si hubiera un elemento identidad para la segunda operación se llama anillo unitario . Para el caso, el anillo de los cuaternios es un anillo unitario y no conmutativo y el anillo de los enteros pares es un anillo conmutativo sin unidad.

Si no hay posibilidad de confusión a la primera operación del anillo se llama adición y a la segunda, multiplicación, que son la generalización de las dos operaciones que aparecen en los sistemas numéricos y se denota la suma como a+b y el producto, como ab, siendo a y b cualesquier elementos del anillo R.

Definición

Sea un conjunto A no vacío y las operaciones binarias * y @ que satisfacen los siguientes axiomas:

1. Clausura de *: . * es cerrada.
2. Asociatividad de *: Para todos x, y, z de A, (x*y)*z=x*(y*z).
3. Conmutitividad de *: Para todos x e y en A se cumple x*y=y*x.
4. Existencia del neutro: Existe uno y solo un elemento e de A tal que para todo x de A se cumple que x*e=e*x=x. e es llamado neutro para * en A.
5. Existencia de los inversos: Para todo x en A, existe un único elemento x" también en A, que satisface x*x"=x"*x=e. A x" se denomina inverso de x según *.
6. Clausura de @: . * es cerrada.
7. Asociatividad de @*: Para todos x, y, z de A, (x@y)@z=x@(y@z).
8. Distributividad: Para todos x, y, z de A, x@(y*z)=x@y * x@z.

Se dice que A con las operaciones * y @ es un anillo.

El incumplimiento de cualquiera de los axiomas precedentes inhabilita la condición de anillo.

Apoyándose en otras definiciones del álgebra puede decirse que:

• Sea A un conjunto no vacío con dos operaciones binarias * y @ es un anillo si y sólo si <A,*> es un grupo abeliano, <A,@> es un monoide y se satisface la ley distributiva x@(y*z)=(x@y)*(x@z) para todos x, y, z de A

Definición alternativa 1

Un conjunto S se denomina anillo, si se han definido sobre él dos operaciones , denominadas adición y multiplicación, siendo ambas conmutativas y asociativas, y vinculadas por la ley distributiva, conllevando además la adición la operación inversa, denominada resta.

Definición alternativa 2

Sea el conjunto R un conjunto no vacío de diversa naturaleza, sea numérica, geométrica, matricial, aplicaciones, con dos operaciones algebraicas independientes, que se llamarán adición, denotada por + y multiplicación, indicada por yuxtaposición, si se cumple lo siguiente:

1. El conjunto R con la adición es un grupo abeliano.
2. El conjunto R con la multiplicación es un semigrupo
3. L a multiplicacción es distributiva respecto de la adicióna(b + c) = ab + ac, (a + b)c = ac + bc,

El conjunto R que cumple las tres condiciones anteriormente señaladas se denomina anillo. R provisto de dos operaciones es un sistema algebraico más complejo que el grupo.

Ejemplos

1. Los números enteros son un anillo de la forma .
2. Sea M_n el conjunto de las matrices cuadradas de orden n, puede decirse que es un anillo.
   1. Para todas las matrices cuadradas de n filas A y B A+B también es una matriz cuadrada de n filas y columnas.
   2. La suma de matrices cuadradas del mismo orden n es asociativa.
   3. La suma de matrices cuadradas del mismo orden n es conmutativa.
   4. es el neutro para la suma.
   5. Para toda matriz cuadrada de n filas y columnas se tiene su inverso dado por y según la suma de matrices .
   6. El producto de matrices cuadradas de orden n es cerrado.
   7. El producto de matrices cuadradas de orden n es asociativo.
   8. Para todas matrices cuadradas de orden n A, B, C se cumple A(B+C)=AB+AC.
3. Todo cuerpo <C,*,@> es también un anillo.
4. Por tanto los conjuntos numéricos racionales, reales y complejos que son cuerpos con la suma y la multiplicación también se constituyen en anillos sobre esas mismas operaciones.

Otros ejemplos

• El conjunto P de los números enteros pares, provisto de las usuales operaciones de adición y multiplicación de números enteros es un anillo.
• El conjunto de polinomios en la indeterminada x con coeficientes de un campo numérico prouesto, inclusive de un anillo numérico dado.
• Tomemos el conjunto de las funciones , determinadas para todos los valores reales de t y que toman valores reales. En él se definen la suma de las funciones f(t) y h(t) será la función cuyo valor para cualquier t = t₀ será igual a la suma de los valores de las funciones dadas, esto es, f(t₀) +g(t₀); el producto de estas funciones será una función cuyo valor para cualquie t = t₀ será igual a f(t₀) . g(t₀). En este caso se puede comprobar que se cumplen los requisitos para ser anillo; la diferencia de funciones en t = t₀ es la función cuyo valor es f(t₀) - g(t₀).

Divisores de cero

En el anillo de matrices cuadradas de orden 2 hay matrices K y L, ninguna igual a la matriz 0, pero el KL =0; s i se da este caso en algunos anillos, se dice que los elementos a ≠ 0 y b ≠ 0, pero ab = 0, dice que a es divisor por izquierda de 0 y b, divisor por derecha de 0; en caso de ser el anillo conmutativo, tanto a acomo a b se les nombra divisores de 0 .

Fuentes

• Carl B. Allendoerfer, Cletus O. Oakley. Introducción moderna a la matemática superior. Ediciones del Castillo, Madrid. 1967.
• Fraleigh: Álgebra abstracta
• Robinson Castro Puche: Álgebra Moderna e introducción al álgebra geométrica.
• Nieto: Álgebra elemental, ediciones de OEA, Washington D. C.