Diferencia entre revisiones de «Cubo de Hilbert»

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El '''cubo de Hilbert''' en topología general,  es un espacio topológico que nos depara un caso explicativo  de ciertos conceptos topológicos.  Además, muchos espacios topológicos importancia se pueden incluir en el cubo de Hilbert; esto es, los consideraríamos  como subespacios del cubo de Hilbert. Es un objeto matemático ligado nominalmente y por su trabajo al matemático alemán, David Hilbert.
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El '''cubo de Hilbert''',  en topología general,  es un espacio topológico que nos depara un caso explicativo  de ciertos conceptos topológicos.  Además, muchos espacios topológicos de importancia se pueden incluir en el cubo de Hilbert; esto es, los consideraríamos  como subespacios del cubo de Hilbert. Es un objeto matemático ligado nominalmente y por su trabajo al matemático alemán, David Hilbert.
  
 
== Definición ==
 
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El cubo de Hilbert se define mejor como el producto topológico de los intervalos [0, 1 / n] para n = 1, 2, 3, 4, ... Es decir, es un cuboide de dimensión infinitamente contable, donde las longitudes de Los bordes en cada dirección ortogonal forman la secuencia <math>\lbrace 1/n \rbrace_{n\in\mathbb{N}} </math>.
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El cubo de Hilbert se define mejor como el producto topológico de los intervalos [0, 1 / n] para n = 1, 2, 3, 4, ... Es decir, es un cuboide de dimensión infinitamente contable, donde las longitudes de Los bordes en cada dirección ortogonal forman la secuencia (a<sub>n</sub>) para n, número natural.
  
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El cubo de Hilbert es homeomórfico al producto de innumerables copias del intervalo de unidades [[intervalo]] [0,&nbsp;1]. En otras palabras, es indistinguible topológicamente del cubo unitario de dimensión infinitamente contable.
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El cubo de Hilbert es homeomórfico al producto de innumerables copias del intervalo de unidades del intervalo cerrado [0,&nbsp;1]. En otras palabras, es indistinguible topológicamente del cubo unitario de dimensión infinitamente contable.
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Si un punto en el cubo de Hilbert esta especificado por una secuencia (a<sub>n</sub>) con 0 ≤  a<sub>n</sub> ≤ 1/n, entonces un homeomorfismo al cubo de unidad de dimensión infinita es dado por   (a<sub>n</sub>) con 0 ≤  a<sub>n</sub> ≤ 1/n.
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Si un punto en el cubo de Hilbert esta especificado por una secuencia <math>\lbrace a_n \rbrace</math> con <math>0 \leq a_n \leq 1/n</math>, entonces un homeomorfismo al cubo de unidad de dimensión infinita es dado por <math>\lbrace a_n \rbrace</math> with <math>0 \leq a_n \leq 1/n</math>
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===Como producto numerable de intervalos===
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I<sup>N</sup> = [1;1]×[1; 1/2]×[1; 1/3]×...×[1; 1/n], donde el primer miembro es el símbolo del cubo de Hilbert.
  
 
== Propiedades ==
 
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Como producto de los espacios compactos de Hausdorff, el cubo de Hilbert es en sí mismo un espacio compacto de Hausdorff como resultado del teorema de Tychonoff. La compacidad del cubo de Hilbert también se puede probar sin el Axioma de elección mediante la construcción de una función continua a partir del Cantor habitual. puesta en el cubo de Hilbert.
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*El cubo de Hilbert está conectado y conectado , porque estas propiedades se transfieren a espacios  producto.
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*El cubo de Hilbert es un espacio compacto de Hausdorff , como se deduce directamente del teorema de Tychonoff .
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*El cubo de Hilbert es metrizable
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*Como todos los espacios compactos y metrizables, el cubo de Hilbert es separable y satisface el Segundo Teorema de la Contabilidad (y, por lo tanto, también el Primer Teorema de la Contabilidad
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*Como producto de los espacios compactos de Hausdorff, el cubo de Hilbert es en sí mismo un espacio compacto de Hausdorff como resultado del teorema de Tíjonov. La compacidad del cubo de Hilbert también se puede probar sin el Axioma de elección mediante la construcción de una función continua a partir del Cantor habitual. puesta en el cubo de Hilbert.
  
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En ℓ2, ningún punto tiene una vecindad compacta (por lo tanto, ℓ2 no es compacta localmente). Uno podría esperar que todos los subconjuntos compactos de 2 sean de dimensión finita.El cubo de Hilbert muestra que este no es el caso.Pero el cubo de Hilbert no es una vecindad de ningún punto p porque su lado se vuelve más y más pequeño cada dimensión, de modo que una bola abierta alrededor de p de cualquier radio fijo e> 0 debe salir del cubo en alguna dimensión.
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== Referencias ==
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Cada subconjunto del cubo de Hilbert hereda del cubo de Hilbert las propiedades de ser metrizable (y, por lo tanto, T4) y segundo contable. Es más interesante que lo contrario también se sostiene: cada segundo espacio T4 contable es homeomorfo a un subconjunto del cubo de Hilbert.
 
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Cada subconjunto G<sub>δ</sub> del cubo de Hilbert es un espacio polaco, un espacio topológico homeomórfico a un espacio métrico separable y completo. A la inversa, cada espacio polaco es homeomorfo para un subconjunto G<sub>δ</sub> del cubo de Hilbert.<ref>[[Hilbert cube#Srivastava|Srivastava]], pp. 55</ref>
 
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== Notas ==
 
 
<references group=""></references>
 
<references group=""></references>
  
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== Referencias ==
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== Fuentes==
  
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*Kuratowski: Introducción a la teoría de conjuntos y a la Topología
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*Kasimierz Kuratowski: ''Introducción a la teoría de conjuntos y a la topología''
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* James R. Munkres: Topología, Pearson Prentice Hall, Madrid -2008
  
  

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El cubo de Hilbert, en topología general, es un espacio topológico que nos depara un caso explicativo de ciertos conceptos topológicos. Además, muchos espacios topológicos de importancia se pueden incluir en el cubo de Hilbert; esto es, los consideraríamos como subespacios del cubo de Hilbert. Es un objeto matemático ligado nominalmente y por su trabajo al matemático alemán, David Hilbert.

Definición

El cubo de Hilbert se define mejor como el producto topológico de los intervalos [0, 1 / n] para n = 1, 2, 3, 4, ... Es decir, es un cuboide de dimensión infinitamente contable, donde las longitudes de Los bordes en cada dirección ortogonal forman la secuencia (an) para n, número natural.

El cubo de Hilbert es homeomórfico al producto de innumerables copias del intervalo de unidades del intervalo cerrado [0, 1]. En otras palabras, es indistinguible topológicamente del cubo unitario de dimensión infinitamente contable. Si un punto en el cubo de Hilbert esta especificado por una secuencia (an) con 0 ≤ an ≤ 1/n, entonces un homeomorfismo al cubo de unidad de dimensión infinita es dado por (an) con 0 ≤ an ≤ 1/n.

Como producto numerable de intervalos

IN = [1;1]×[1; 1/2]×[1; 1/3]×...×[1; 1/n], donde el primer miembro es el símbolo del cubo de Hilbert.

Propiedades

  • El cubo de Hilbert está conectado y conectado , porque estas propiedades se transfieren a espacios producto.
  • El cubo de Hilbert es un espacio compacto de Hausdorff , como se deduce directamente del teorema de Tychonoff .
  • El cubo de Hilbert es metrizable
  • Como todos los espacios compactos y metrizables, el cubo de Hilbert es separable y satisface el Segundo Teorema de la Contabilidad (y, por lo tanto, también el Primer Teorema de la Contabilidad
  • Como producto de los espacios compactos de Hausdorff, el cubo de Hilbert es en sí mismo un espacio compacto de Hausdorff como resultado del teorema de Tíjonov. La compacidad del cubo de Hilbert también se puede probar sin el Axioma de elección mediante la construcción de una función continua a partir del Cantor habitual. puesta en el cubo de Hilbert.

Referencias


Fuentes

  • Kasimierz Kuratowski: Introducción a la teoría de conjuntos y a la topología
  • James R. Munkres: Topología, Pearson Prentice Hall, Madrid -2008
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