Método de inducción completa

Inducción Matemática Concepto: Razonamiento en que la conclusión general se obtiene a partir del estudio de todos los casos del fenómeno observado y tiene su validez garantizada. Un caso particular de ella es la inducción matemática.

Método de inducción matemática conlleva una posibilidad de pruebas de ciertas proposiciones cuyas variables recorren el conjunto N de todos los números naturales. Las pruebas toman como pivote demostrativo el principio de inducción completa. Razonamiento que permite demostrar una infinidad de proposiciones, o una proposición que depende de una variable en que toma una infinidad de valores enteros no negativos.

Dato histórico

• Inducción deriva de la voz latina inductio
• "Inducción matemática" aparece en un artículo escrito por Augusto de Morgan en 1938, inserto en la Enciclopedia Británica. Lo usó Todhunter, Wallis.
• Para esta herramienta se usó también la denominación "Principio de Bernoulli", Gauss escribía "eine bekannte methode". Jacobi lo nombraba "método de Kästner", Poincaré acudió a "récurrence".
• Este recurso fue "inventado" en muchas ocasiones; Euclides lo usaba en forma implícita; Pascal lo empleó en combinatoria y lo haya encontrado en trabajos de Maurolico. Jacob Bernoulli se autoconsideraba el inventor de esta herramienta de prueba matemática.

Definición

Este principio sirve para demostrar propiedades que se cumplen para un conjunto numerable de objetos (Un conjunto A es numerable si existe una biyección de A en el conjunto de los números naturales). Generalmente se usa la notación A(n), B(n), C(n), P (n), … para denotar estas propiedades.

Principio

El principio de inducción completa, en que se basa el método del mismo nombre, consiste en:

• 1ro. Probar que la propiedad se satisface para un primer número natural (P (a) es verdadera para a perteneciente a N).
• 2do. Probar que siempre que un número natural cualquiera satisfaga la propiedad, su sucesor también la satisface.(De P (k) se deduce P (k+1)).

Ejemplo

Demuestra por Inducción completa que para todos los números naturales n se cumple: 0 + 2 + 4 +…+ 2n = n(n + 1). Sea S(n) = 0 + 2 + 4 +…+ 2n. Se debe probar que S(n) = n(n + 1).

Inicio de Inducción: Para n = 0: S (0) = 0(0 + 1) = 0 La propiedad es verdadera para n = 0.

Hipótesis de inducción: Para n = k : 0 + 2 + 4 +…+ 2k = k(k + 1).

Tesis de inducción: Para n = k +1: 0 + 2 + 4 +…+ 2(k+1) = (k + 1)(k + 2).

Demostración de la tesis de inducción: Se debe probar que S (k)= k(k + 1) => S (k+1)= (k + 1)(k + 2) Partiendo de la hipótesis: 0 + 2 + 4 +…+ 2k = k(k + 1) Sumemos el término 2(k +1) a ambos miembros de la igualdad: 0 + 2 + 4 +…+ 2k + 2(k + 1) = k(k + 1) + 2(k + 1) Debemos analizar si en el miembro derecho la expresión: k(k + 1) + 2(k + 1)es la misma que (k + 1)(k + 2) 0 + 2 + 4 +…+ 2k + 2(k + 1) = k(k + 1) + 2(k + 1) 0 + 2 + 4 +… +2k+ 2(k + 1) = (k + 1)(k + 2) extrayendo factor común (k+1) Luego, la propiedad se cumple para todo n que pertenece a N.

Pruebas en la Teoría de números

Demuestra por inducción completa que para todo numero natural n 3ⁿ – 1 es divisible por 2.

Inicio de inducción: Para n = 0  ; 3⁰ – 1 = 1 – 1 = 0 no se cumple la propiedad. Para n = 1, 3¹ – 1 = 2 es divisible por 2. Se cumple la propiedad. Elaborar de conjunto con los alumnos que si un número es divisible por 2, entonces es de la forma 2x, con x que pertenece a N.)

Hipótesis de inducción: Para n = k : 3^k – 1 = 2x.

Tesis de inducción: Para n = k + 1: 3^{k + 1} – 1 = 2.

Demostración de la tesis de inducción: 3^k – 1 = 2x Multiplicando por 3 ambos miembros, tenemos: 3·3^k-3 = 6x

3^k+1 = 3 + 6x

3^k+1 = 2 + 1 + 6x

3^{k + 1} – 1 = 2 + 6x

3^{k + 1} – 1 = 2 (1 + 3x)

3^{k + 1} – 1 = 2 y luego 3ⁿ – 1

Es divisible por 2 para todo n que pertenece a los números naturales distintos de cero.

Enlaces externos

• Inducción Matemática
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Fuentes

• Colectivo de autores. Matemática 12 grado parte I. Ministerio de Educación. 1991.
• I. S. Sominski: Método de inducción matemática; Editorial Mir, Moscú 1985, 2da. edición