Semigrupo conmutativo

Semigrupo conmutativo Concepto: Estructura algebraica de un conjunto y una operación sobre éste que es cerrada, asociativa y conmutituva.

Semigrupo conmutativo o abeliano. En Álgebra dícese de la estructura algebraica conformada por el par <G,*>, tales que G es un conjunto no vacío y * es una operación binaria; entonces se cumple que * es cerrada, asociativa y conmutativa.

Definición

Sea un conjunto G y la operación binaria * definida como *(x,y)=z, normalmente escrita como x*y=z que satisface los axiomas:

1. Clausura: . * es cerrada.
2. Asociatividad: Para todo x, y, z de G, (x*y)*z=x*(y*z).
3. Conmutatividad: Para todo x, y de G, x*y=y*x.

Se dice que G con la operación * es un semigrupo conmutativo o abeliano.

En otras palabras, un semigrupo abeliano es un semigrupo cuya operación también es conmutativa.

Ejemplos

• Todo grupo conmutativo <G,*> es un semigrupo conmutativo.
• Los siguientes son semigrupos abelianos representados en forma tabular:

<{a,b},@>	<{a,b,c},*>
@ a b a a b b b a	* a b c a a b c b b c a c c a b

• Es un semigrupo conmutativo las matrices complejas con la operación suma de matrices definidas de la manera tradicional:
  • con y

Fuentes

1. Carl B. Allendoerfer, Cletus O. Oakley. Introducción moderna a la matemática superior. Ediciones del Castillo, Madrid. 1967.