Subgrupo conmutativo

Subgrupo conmutativo Concepto: Sea el subgrupo <G',*> cuya operación * es conmutativa; se dice que <G',*> es un subgrupo conmutativo también.

Subgrupo conmutativo. En Álgebra dícese de la estructura algebraica conformada por el par <G',*> que conforma un subgrupo y * es una operación binaria yconmutativa. También es equivalente a decir subgrupo abeliano.

Definición.

• Sea un conjunto G y la operación binaria * tales que <G,*> conforman un grupo algebraico, se le llama subgrupo conmutativo o abeliano a cualquier con que satisfaga el hecho de ser también un grupo sobre la misma operación * y que además para todos x e y de G' se cumple que x*y=y*x.

Una consecuencia de importancia en los subgrupos conmutativos es la siguiente:

• El subgrupo trivial <{e},*> es siempre conmutativo.

Ejemplos.

Ejemplo 1.

El menor de los subgrupos conmutativos del grupo <G,*> es <{e},*> donde e es el elemento neutro para * en G, es decir el subgrupo trivial.

=Ejemplo 2.

Sea el grupo <{0;1;2;3;4},+₅> cuya operación +₅ (suma módulo 5) viene definida por la tabla:

+5	0	1	2	3	4
0	0	1	2	3	4
1	1	2	3	4	0
2	2	3	4	0	1
3	3	4	0	1	2
4	4	0	1	2	3

no tiene otro subgrupo que el trivial, porque para el resto de los subconjuntos de G se incumple el axioma del cierre de los grupos.

Ejemplo 3.

Sea el grupo <{e,a,b,c},@> (Grupo Cuarto de Klein) con @ definida según la tabla siguiente:

@	e	a	b	c
e	e	a	b	c
a	a	e	c	b
b	b	c	e	a
c	c	b	a	e

tiene a <{e},@>, <{e,a},@> por subgrupos conmutativos.

Ejemplo 4.

Sea el subconjunto real [0;1] y el producto aritmético estos constituyen un subgrupo conmutativo de los números reales, no así el mismo subconjunto y la suma, porque no es cerrada e incumple la existencia del inverso por ejemplo para 1.

Fuentes.

1. Carl B. Allendoerfer, Cletus O. Oakley. Introducción moderna a la matemática superior. Ediciones del Castillo, Madrid. 1967.
2. Subgrupo en Wikipedia. Consultado 22 de febrero de 2012.