Monoide conmutativo

Monoide conmutativo Concepto: Estructura algebraica de un conjunto y una operación sobre éste que es cerrada, conmutativa y asociativa, además de que existe un neutro en el conjunto para la operación.

Monoide conmutativo o abeliano. En Álgebra dícese de la estructura algebraica conformada por el par <G,*>, tales que es un monoide y * es conmutativa.

Definición

Sea un conjunto G y la operación binaria * definida como *(x,y)=z o mejor x*y=z y se satisfacen cada uno de los siguientes axiomas:

1. Clausura: . * es cerrada.
2. Asociatividad: Para todo x, y, z de G, (x*y)*z=x*(y*z).
3. Existencia del neutro: Existe uno y solo un elemento e de G tal que para todo x de G se cumple que x*e=e*x=x. e es llamado neutro para * en G.
4. Conmutatividad: Para todo x e y de G, se cumple que x*y=y*x.

Se dice que G con la operación * es un monoide conmutativo o abeliano.

Dicho de otra forma:

• <G,*> es monoide conmutativo si y solo si <G,*> es monoide y * es conmutativa para todos los elementos de G.

Ejemplos

• Los enteros y la suma conforman un monoide abeliano pues la suma es cerrada y asociativa, el 0 es el neutro.
• Los números naturales y el producto son también un monoide conmutativo donde el 1 es el neutro de la multiplicación.
• Los naturales y la suma no forman un monoide conmutativo porque aunque la suma sea simétrica, se incumple el axioma de la existencia del neutro que invalida la estructura como monoide.
• Las cadenas de caracteres y la concatenación forman un monoide conmutativo teniendo a la cadena vacía por neutro.
• Sea un grupo algebraico <M,*> cualquiera, también es un monoide.

Fuentes

• Monoide conmutativo*
• Carl B. Allendoerfer, Cletus O. Oakley. Introducción moderna a la matemática superior. Ediciones del Castillo, Madrid. 1967.