Diferencia entre revisiones de «Grupo de Klein»
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Revisión del 04:21 1 dic 2016
En matemáticas, el grupo de Klein o el Vierergruppe (en alemán, grupo de cuatro) es el grupo abeliano de cuatro elementos en el que cada elemento es el inverso de sí mismo. Recibe este nombre en honor al alemán Félix Klein.
Definición del grupo
El grupo de Klein es el grupo (K, •) donde K = {1, a, b, c} y cuya operación binaria interna • se define con la siguiente tabla:
| • | 1 | a | b | c |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | a | b | c |
| a | a | 1 | c | b |
| b | b | c | 1 | a |
| c | c | b | a | 1 |
En ocasiones, puesto que c = a•b, se escribe K = {1, a, b, ab}. Con estos nombres, la tabla de la operación es
| • | 1 | a | b | ab |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | a | b | ab |
| a | a | 1 | ab | b |
| b | b | ab | 1 | a |
| ab | ab | b | a | 1 |
Propiedades algebraicas
- El grupo de Klein es isomorfo al producto directo del grupo cíclico de orden 2 por sí mismo: K = Z2 x Z2.
- El grupo de Klein es abeliano[1], es decir, la operación interna es conmutativa.
- El grupo de Klein no es cíclico, por lo que no existe un elemento generador y, por tanto, no es isomorfo al grupo Z2.
- El orden de todos elementos es 2, excepto del elemento neutro 1 cuyo orden es 1. [2]
- El grupo de Klein tiene la representación < a, b | a2 = b2 = (ab)2 = 1 > [3]
- El grupo de Klein sólo tiene tres subgrupos propios, isomorfos al grupo cíclico de orden 2. Son lo generados por cada uno de los elementos distintos del neutro 1.
Véase también
Referencias
- ↑ Vladimir Anashin, Andrei Khrennikov; Applied Algebraic Dynamics, Volume 49 of De Gruyter expositions in mathematics, Walter de Gruyter, (2009), p. 211
- ↑ Peter J. Cameron; Introduction to Algebra, Oxford mathematics, OUP Oxford, (2008), p.120-123
- ↑ Paul M. Cohn; Basic Algebra: Groups, Rings and Fields, Springer Science & Business Media, (2004), p. 57
