Tetraedro regular

Es un poliedro convexo regular de cuatro caras iguales. Cada una es una región triangular regular, esto es un triángulo equilátero.

Elementos

• Número de caras: cuatro; que justifica el nombre de este sólido.
• Número de aristas: seis; cada tres de ellos en un mismo plano.
• Número de vértices: cuatro; tres caras concurren en un único vértice.
• Centro, el punto interior que equidista de las caras
• Apotema: la altura de cualquiera de sus caras
• No tiene diagonal.
• Característica de Euler: C + V = A + 2, 4 + 4 = 6 +2.

Medidas

Altura

Esta es la distancia de un vértice a la cara opuesta.

h = a/3×(6)^½, donde a es la longitud de la arista.

Área de la superficie total

Es cuatro veces el área de un triángulo equilátero, cuyo lado mide lo mis que la arista del sólido en mención.

A = a²(3)^½

Volumen

Se puede considerar como una pirámide regular , cuya altura se conoce en función de la arista y la base piramidal es una región triangular, también se conoce.

Aplicando la fórmula V = ⅓h×B, resulta:

V = ⅓×( a/3×(6)^½)×(¼ × a²(3)^½) = 1/12×a³× (2)^½

Topología

Interior

Es el conjunto de todos los puntos interiores de un tetraedro. Un punto I del espacio o R3, es un punto interior, si por el punto se traza una recta cualquiera y corta a dos de sus caras en los punto J y K, entonces el punto I está entre J y K. El interior es un conjunto abierto.

Frontera

Un punto es punto frontera del tetraedro si está en cualquiera de sus caras, consideradas como regiones triangulares equiláteras.

Adherencia

La adherencia es la unión del interior con la frontera. La adherencia, llamada también clausura, es un conjunto cerrado.

Exterior

Es el conjunto de todos los puntos que no están en ninguna de las caras ni en el interior del tetraedro.

Punto de acumulación.

Cualquier punto de de una cara o del interior del tetraedro es un punto de acumulación.

Conjunto derivado

Es el conjunto de todos sus puntos de acumulación; en el presente caso coincide con la adherencia del sólido en estudio.

Proposiciones y propiedades geométricas

Inscripción

Un tetraedro regular se puede inscribir en una esfera; de modo que los cuatro vértices estén en la superficie esférica.

Circunscripción

Un tetraedro se puede circunscribir a una esfera

De las aristas opuestas

En cualquier tetraedro regular las aristas opuestas son perpendiculares.

Distancia entre aristas opuestas

Dado un tetraedro regular cualquiera, la distancia entre dos aristas opuestas es igual al producto de la longitud de la arista por la raíz cuadrada de dos.

Relación entre diversos radios

En todo tetraedro se cumple que la relación entre los radios de las esferas inscrita, circunscrita y exinscrita es de 1 a 3 a 2, respectivamente.

Fuente bibliográfica

• Luis ARBULÚ MARIÑOS: Poliedros regulares, Geometría. Lumbreras Editores, Lima (2015) ISBN 978-612-307-466-1