Conjunto abierto en R

Hay una forma axiomática de definir una topología y su espacio topológico. Luego se dice que cualquier elemento de la topología es un conjunto abierto.

Pero otra forma de definir es usando la idea de entorno (o vecindad). Sea a un punto de la recta real y sea ρ > 0 un número real. El conjunto I_ρ(a) = {x/ a-ρ <x < x+ρ } se llama entorno de a de radio ρ. Un entorno no viene a ser sino un intervalo abierto.

Abierto

Un conjunto S de números reales se llama abierto si cada uno de sus puntos x ε S es interior, esto es, todo punto de x está en S junto con cierto entorno suyo.

Un intervalo abierto cualquiera es conjunto abierto, de igual modo son conjuntos abiertos el conjunto vacío Ø y el conjunto R de todos los números reales. <a;b> U <c;d> es abierto, lo mismo la unión de cualquiera cantidad de intervalos abiertos es abierto. A su vez, la intersección de una colección finita de tales intervalos abiertos es abierto.

No son abiertos H = {2, 7, 10}, tampoco L=[2;5], ya que ningún entorno de 2 es parte de L.

Proposición 1

Sea I un intervalo de R, C y D son conjuntos abiertos de números reales, que cumplen I parte de C unión D y la intersección de I, C y D es no vacía. Entonces I con C sin puntos comunes, I con D sin puntos comunes.

Proposición 2

El interior de cualquier tipo de intervalo es un intervalo abierto, cuyos extremos coinciden con los del intervalo aludido. Todo intervalo abierto es igual a su interior.

Proposición 3

El interior de los intervalos finitos: [a;b], <a; b ], [a;b> es abierto, y es igual a <a;b> siendo a ≤ b números reales. Sus fronteras de los tres intervalos es el conjunto {a;b}. Sólo el exterior de [a;b] es abierto

Fuentes

• Horvath: Introducción a la Topología general, Edición OEA, Washington D. C.

• Intervalo en R
• Número real
• Espacio topológico
• Topología