Cubo de Hilbert

El cubo de Hilbert, en topología general, es un espacio topológico que nos depara un caso explicativo de ciertos conceptos topológicos. Además, muchos espacios topológicos de importancia se pueden incluir en el cubo de Hilbert; esto es, los consideraríamos como subespacios del cubo de Hilbert. Es un objeto matemático ligado nominalmente y por su trabajo al matemático alemán, David Hilbert.

Definición

El cubo de Hilbert se define mejor como el producto topológico de los intervalos [0, 1 / n] para n = 1, 2, 3, 4, ... Es decir, es un cuboide de dimensión infinitamente contable, donde las longitudes de Los bordes en cada dirección ortogonal forman la secuencia <math>\lbrace 1/n \rbrace_{n\in\mathbb{N}} </math>.

El cubo de Hilbert es homeomórfico al producto de innumerables copias del intervalo de unidades intervalo [0, 1]. En otras palabras, es indistinguible topológicamente del cubo unitario de dimensión infinitamente contable.

Si un punto en el cubo de Hilbert esta especificado por una secuencia <math>\lbrace a_n \rbrace</math> con <math>0 \leq a_n \leq 1/n</math>, entonces un homeomorfismo al cubo de unidad de dimensión infinita es dado por <math>\lbrace a_n \rbrace</math> with <math>0 \leq a_n \leq 1/n</math>

Propiedades

Como producto de los espacios compactos de Hausdorff, el cubo de Hilbert es en sí mismo un espacio compacto de Hausdorff como resultado del teorema de Tychonoff. La compacidad del cubo de Hilbert también se puede probar sin el Axioma de elección mediante la construcción de una función continua a partir del Cantor habitual. puesta en el cubo de Hilbert.

En ℓ2, ningún punto tiene una vecindad compacta (por lo tanto, ℓ2 no es compacta localmente). Uno podría esperar que todos los subconjuntos compactos de 2 sean de dimensión finita.El cubo de Hilbert muestra que este no es el caso.Pero el cubo de Hilbert no es una vecindad de ningún punto p porque su lado se vuelve más y más pequeño cada dimensión, de modo que una bola abierta alrededor de p de cualquier radio fijo e> 0 debe salir del cubo en alguna dimensión.

Cada subconjunto del cubo de Hilbert hereda del cubo de Hilbert las propiedades de ser metrizable (y, por lo tanto, T4) y segundo contable. Es más interesante que lo contrario también se sostiene: cada segundo espacio T4 contable es homeomorfo a un subconjunto del cubo de Hilbert.

Cada subconjunto G_δ del cubo de Hilbert es un espacio polaco, un espacio topológico homeomórfico a un espacio métrico separable y completo. A la inversa, cada espacio polaco es homeomorfo para un subconjunto G_δ del cubo de Hilbert.

Referencias

• Kuratowski: Introducción a la teoría de conjuntos y a la Topología