Función exponencial compleja

Función exponencial compleja Concepto: Función exponencial con argumento complejo.

Función exponencial compleja. En Matemáticas y más específicamente Análisis matemático es la versión de la función exponencial sobre el conjunto de los números complejos.

La misma se basa en la representación exponencial de los números complejos y su relación con la forma trigonométrica. Es de vital importancia en la formulación de otras funciones complejas como el logaritmo, las funciones trigonométricas complejas, las funciones trigonométricas hiperbólicas complejas y otras.

Definición

A la función , x=a+bi, expresada en forma de cálculo por:

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se le denomina función exponencial compleja y también se denota exp(x) donde x es un argumento complejo.

Propiedades

La definición antes vista, que no es otra que la relación entre las representaciones exponencial y trigonométricas de los complejos, cumple todas las propiedades que cumplía en los reales, excepto aquellas relacionadas con el ordenamiento porque los números complejos no son un conjunto ordenado. A saber:

• e^x+y=e^x+y
• (e^x)^y=e^xy
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Importancia

La ley de Euler establece un importante vínculo entre la trigonometría y el cálculo, al asociar la exponenciación de la parte imaginaria compleja con la representación de un complejo cuyo módulo es 1. Esta es la base para la representación exponencial de complejos y como base demostrativa para la Ley de Moivre; esto sin excluir el hecho de clarificar el procedimiento para exponenciar complejos, calcular raíces, determinar logaritmos de argumentos negativos y facilitar el trabajo del cálculo computacional de las funciones trigonométricas.

Desarrollo en series potencias de Taylor

Cuando por ejemplo se desarrolla la exponenciación en series de potencias de Taylor tenemos:

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pero en el caso de un exponenciacion con un imaginario ix, la expresión previa quedaría:

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se agrupan las partes reales e imaginarias como sigue:

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entonces las expresiones reales se asocian al coseno y las imaginarias al seno:

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siendo de gran ayuda para el cálculo numérico de los valores de cualquiera de ellas y para su implementación computacional.

Logaritmos de reales negativos

Ya sabemos que la suma de dos logaritmos es el logaritmo del producto de ambos argumentos:

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Entonces para un negativo -x, la propiedad anterior queda:

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de manera que el escollo estaría en resolver ln(-1). Pero la identidad de Euler nos expresa que su solución es:

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y al final el logaritmo de -x se calcula mediante la expresión:

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Veáse también

• Números complejos.
• Ley de Euler.
• Función exponencial.

• Logaritmo complejo.

Fuentes

• I. Bronshtein, K. Semendiaev. Manual de matemáticas para ingenieros y estudiantes. 2da Edición. Editorial Mir, Moscú. 1973.

• [1]. Disponible en "es.wikipedia.org". Consultado 1 de diciembre de 2014.

• [2]. Disponible en "es.wikipedia.org". Consultado 1 de diciembre de 2014.