Grupo resoluble (álgebra)

Grupo resoluble. En el álgebra abstracta, especialmente en la teoría de grupos, se llama así a un grupo que es miembro de una sucesión de subgrupos, que respetan un orden parcial y son útiles en la Teoría de Galois y en los análisis de resolución de ecuaciones algebraicas mediante fórmulas que involucren radicales y operaciones con los respectivos coeficientes.

Sea la sucesión de subgrupos normales

G → G⁽¹⁾ → G⁽²⁾ → ... → G^(k) → G^{(k + 1)} → ... (2)

El grupo G se llama resoluble, si la sucesión (2) se detiene en el subrupo unidad, esto es G^(m) = e para cierto índice mínimo de m grados de solubilidad del grupo G. Es notorio que todo grupo abeliano , entre estos también los cíclicos, es resoluble de grado 1.

Conmutador

La expresión [x, y] = xyx^-1y^-1,

se llama conmutador de los elementos x, y del grupo G, se usa de términbo corrector, cuando hay necesidad de alterar las ubicaciones de de x e y:

xy = [x,y]xy

Cuando x e y son permutables, resulta que el conmutador es e; [x,y] = e

Conmutante

Sea L el conjunto de todos los conmutadores en G. Se llama conmutante ( o subgrupo derivado) del grupo G el subgrupo G' := G⁽¹⁾ = [G,G] generado por el conjunto L.

G' = <[x,y] / x, y están en G>.

Aunque el inverso de un conmutador es un conmutador, no siempre el producto de dos conmutadores es un conmutador.

Proposición

Cualquier subgrupo K de G, que contiene al conmutante G' del grupo G es normal con respecto a G. El grupo cociente G/G' es abeliano y G' está contenido en cada subgrupo normal K, tal que G/K es abeliano ( el orden máximo de del grupo cociente abeliano G/K es igual al índice de G:G' ).

La resolubilidad del grupo S₄ y de todos sus subgrupos, es la razón de solubilidad en radicales de las ecuaciones algebraicas de grado no mayor que 4.

Fuentes

• Álgebra de Serge Lang, Aguilar Ediciones S. A. Madrid, 1973
• Introducción al álgebra de Kostrikin, Editorial Mir, Moscú, 1987
• Grupos Continuos de L. S. Pontriaguin, Editorial URSS, Moscú, 1994, pág 31

Páginas vinculadas

• Grupo
• Conmutatividad
• Teoría de Galois