Teorema del punto fijo

En la matemática, especialmente en la topología, el teorema del punto fijo, es muy útil y garantiza, en general, solución a problemas del tipo F(x) = x. Usado en la solución aproximada de ecuaciones algebraicas y trascendentes de las ecuaciones diferenciales, en aproximaciones.

Algo de historia

La teoría de los puntos fijos, forma parte de la topología, rama de las matemáticas creada a finales del siglo XIX. En el desarrollo teórico se emplean, básicamente, conceptos topológicos como continuidad, compacidad, homotopía y grado de transformación. Es necesario citar tres nombres:

En primer lugar al matemático francés, J. H. Poincaré (1854- 1912) fundador del método de los puntos fijos, precursor de su aplicación en análisis matemático y en mecánica celeste. Poincaré fue el primero en usar en topología el método combinatorio o de triangulación de las transformadas geométricas geométricas en simplex.

En segundo lugar hay que citar al matemático holandés L. e. J. Brower (1881-1966). El acudió a los conceptos topológicos: homotopía y grado de grado de transformación ; probó (1910, 1911) los teoema del punto fijo para el cuadrado, la esfera y sus similares n- dimensionales.

En tercer lugar hay que citar el nombre del matemático alemán, E. Sperner (1905 - 1980), quien en 1928 probó el lema combinatorio-geométrico de la partición del triángulo - y, en general, del simplex n-dimensiomnal que ja jugado un rol descollante en la teoría de los puntos fijos.

Enunciado de Brower

En cualquiera aplicación continua g de un intervalo cerrado I en sí mismo hay por lo menos un punto fijo; esto es, un punto t₁ tal que g(t₁ ) = t₁; en cualquiera transformación continua de un cuadrado en sí mismo, también existe no menos de un punto fijo..

Lemas combinatorios

Lema 1.

Conocido también con el nombre de Lema de Sterner para el intervalo cerrado.

Sea un intervalo cerrado (o segmento) partido por un conjunto finito de puntos interiores en subintervalos cerrados , cuyo extremo derecho es el 1, y el izquierdo el 0 y los puntos divisorios asumen un número en el intervalo abierto (0; 1). Si es así, existe un subintervalo cerrado cuyos extremos son números distintos. Además la cantidad de los subintervalos cerrados es un número impar.

Fuentes

• Yu Shashkin: Puntos fijos, Editorial Mir, Moscú - 1991
• John W. Keesee: Introducción a la topología algebraica, Editorial Alhambra , S. A. Madrid- 1971

Véase además

• Transformación topológica
• Homotopía
• Continuidad de funciones