Teorema del punto fijo
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Teorema del punto fijo. En la matemática, especialmente en la topología, es muy útil y garantiza, en general, solución a problemas del tipo F(x) = x. Usado en la solución aproximada de ecuaciones algebraicas y trascendentes, de las ecuaciones diferenciales, en aproximaciones.
Sumario
Historia
La teoría de los puntos fijos, forma parte de la topología, rama de las matemáticas creada a finales del siglo XIX. En el desarrollo teórico se emplean, básicamente, conceptos topológicos como continuidad, compacidad, homotopía y grado de transformación. Es necesario citar tres nombres; en primer lugar al matemático francés, J. H. Poincaré (1854- 1912) fundador del método de los puntos fijos, precursor de su aplicación en análisis matemático y en mecánica celeste. Poincaré fue el primero en usar en topología el método combinatorio o de triangulación de las transformadas geométricas en simplex.
En segundo lugar hay que citar al matemático holandés L. e. J. Brower (1881-1966). El acudió a los conceptos topológicos: homotopía y grado de grado de transformación ; probó (1910, 1911) los teoema del punto fijo para el cuadrado, la esfera y sus similares n- dimensionales. En tercer lugar hay que citar el nombre del matemático alemán, E. Sperner (1905 - 1980), quien en 1928 probó el lema combinatorio-geométrico de la partición del triángulo - y, en general, del simplex n-dimensiomnal que ja jugado un rol descollante en la teoría de los puntos fijos.
Enunciado de Brower
En cualquiera aplicación continua g de un intervalo cerrado I en sí mismo hay por lo menos un punto fijo; esto es, un punto t1 tal que g(t1 ) = t1; en cualquiera transformación continua de un cuadrado en sí mismo, también existe no menos de un punto fijo.[1].
Lemas combinatorios
- Lema 1.
Conocido también con el nombre de Lema de Sterner para el intervalo cerrado.
Sea un intervalo cerrado (o segmento) partido por un conjunto finito de puntos interiores en subintervalos cerrados , cuyo extremo derecho es el 1, y el izquierdo el 0 y los puntos divisorios asumen un número en el intervalo abierto (0; 1). Si es así, existe un subintervalo cerrado cuyos extremos son números distintos. Además la cantidad de los subintervalos cerrados es un número impar. [2]
- lema 2.
Llamado como el Lema del paseo por las habitaciones de la casa.
Vamos a usar el plano de una casa, sus puertas y habitaciónes. Asumimos que conocemos el número de puertas de cada habitación que puede ser igual a 0, a 1, ó a 2. La habitación con una sola puerta se llama habitación sin salida y la que tiene dos puertas, habitación de paso. La puerta puede ser exterior, si da a la calle; interior, si conecta dos habitaciones contiguas. Se supone también que una habitación puede tener una sola puerta exterior, y dos habitaciones contiguas, únicamente una puerta común.
El lema dice: Si cada habitación de la casa tiene 0, 1 ó 2 puertas, el número de habitaciones sin salida y el de puertas exteriores tiene la misma paridad. Ello nos expresa que los mencionados números son ambos pares o bien ambos, impares.
Lema de Sterner
Tomemos un triángulo de tamaño arbitrario dividido en triángulos pequeños. Asumamos que esta partición exige los siguientes requisitos: dos triángulos pequeños o subtriángulos) cualesquiera o no tienen punto común alguno, o sólo poseen un vértice común o un lado común. Esta partición inicial del triángulo se nombra triangulación, los triángulos pequeños se llaman caras de triangulación; los lados de los subtriángulos, aristas; y sus vértices, vértices.
El lema dice: Sea una triángulación del triángulo T. Sus vértices están señalados con los numerales 1, 2 y 3. Los vértices de triangulación se numeran con estos mismos numerales , respetando la siguiente condición de frontera: si el vértice de una cara cualquiera se halla en uno de los lados del triángulo T, ese vértice se numera con una de las cifras correspondientes a los vértices de dicho lado. En esa situación , los vértices , de por lo menos, una de las caras conllevan tres marcas diferentes, id. est, 1,2 y 3. Además, el número total de todas las caras es un número impar [3]
Transformaciones topológicas y propiedad o
En primer lugar, diremos que las transformaciones continuas son aquellas que tranforman puntos próximos en próximos. La lejanía o la proximidad se determina por la distancia entre ellos el punto m se considera próximo (o suficientemente próximo) al punto p si la distancia entre ellos es menor que cierto número real l > 0. Todos lo puntos p próximos al punto m forman su l-vecindad. En el plano o R2, esta l-vecindad es un círculo menos su circunferencia de radio l, con centro en m. En el espacio o R3, la vecindad es una esfera, menos la superficie esférica.
Ejemplos
- La proyección de un cuadrado ABCD sobre su lado BC es la transformación que a cualquier punto t del cuadrado le asigna el pie de la perpendicular f(t) trazada de de t a BC. Cualquiera que sea la e-vecindad del punto f(t), en él se proyecta la d-vecindad del punto t.
- Sean Q1 y Q2 dos círculos concéntricos con centro en el punto C y radios, respectivamente igual a r y R, aquí R > r. Se define una transformación g: Q1 → Q2 como sigue: C se convierte en C, y cada radio CA del círculo Q1 se representa linealmente sobre el radio CB del círculo Q2 que tiene la misma dirección. La linealidad de la transformación significa que si el punto D pasa al punto E resulta que
- CD/CA = CE/CB [4]
De este modo toda la circunferencia se convierte en circunferencia , y el círculo de radio d se convierte en el círculo de radio e = r/R × d, y la transformación es continua y como se puede retornar , la transformación es topológica, es decir, biyectiva y bicontinua. A una transformación topológica, como la que convierte una circunferencia en otra y su círculo en el círculo de la otra, se llama homeomorfismo.
Enlace externo
Véase además
- Transformación topológica
- Homotopía
- Continuidad de funciones
- Aplicación biyectiva
