Hipocicloide

Hipocicloide 260px Concepto: Hipocicloide

Hipocicloide. Es la curva plana generada por el movimiento de un punto de una circunferencia que rueda, sin deslizamiento, por el interior de otra circunferencia.

Definición

LA Hipocicloide es la curva que describe la trayectoria un punto situado sobre una circunferencia generatriz que rueda por el interior de otra circunferencia directriz, sin deslizamiento. Es un tipo de ruleta cicloidal.

Dentro de esta familia de curvas se encuentran:

Hipocicloides ordinarias

Las hipocicloides ordinarias (hipocicloides) son curvas generadas por un punto P de una circunferencia de radio r al girar interiormente y sin deslizamiento sobre otra circunferencia de radio R. (r<R)

La curva generada depende de la relación entre los radios de ambas circunferencias. Hay que señalar que si n=R/res entero, la hipocicloide generada por el punto P se cerrará al cabo de una vuelta, y podremos observar que tiene n cúspides.

Casos particulares de hipocicloides ordinarias:

• Si R = 4r se obtiene la curva llamada astroide.

• Si R = 3r se obtiene la hipocicloide de Steiner (de Cremona) o deltoide (que se asemeja a un delta)

• Si R=2r se obtiene un segmento (diámetro del círculo de radio r) llamada "Mosca del Hire".

Hipocicloides acortadas

Las "hipocicloides acortadas" (hipotrocoides cortos) son curvas que se pueden obtener con un Spirograph, haciendo rodar un círculo interior sobre otro círculo, que permanece fijo, colocando un bolígrafo en cualquier punto (agujero) del círculo que rueda.

Casos particulares de hipocicloides acortadas:

• Si R=2r y a=0, P está en el centro del círculo móvil y describe una circunferencia.

• Si R=2r y a<>0 P no está en el borde del círculo ni en el centro y describe una elipse.

Hipocicloides alargadas

Las "hipocicloides alargadas" (hipotrocoides largos) son curvas generadas de modo análogo a las hipotrocoides cortas pero en las que el punto P es un punto vinculado al círculo que rueda pero dentro del disco La ecuación general de las epicicloides alargadas se obtiene de análoga forma que la de la acortada, solamente tenemos que tener presente que a>r

Historia

Ecuaciones

• Ecuación paramétrica:

x = a(t-sent)

y = a(1-cost)

t es un parámetro real. Siendo la variable y función de la variable x, esta cicloide tiene un período de 2aπ, y una altura de 2a.

• Si se despeja la variable t en la ecuación paramétrica, se obtendrá la forma cartesiana:

El único parámetro de forma es el radio a de la circunferencia generatriz. Esta fórmula es válida para la variable y en el intervalo [0,2a], y proporciona sólo la mitad del primer bucle de la cicloide.

• La ecuación en forma intrínseca es:

ρ² + s² = 16 a²

Donde igualmente ρ representa el radio de la curva es la abscisa curvilínea.

Propiedades

Aplicaciones

Vea también

• Parábola

• Hipérbola

• Circunferencia

• Elipse

• Cisoide de Diocles

• Estrofoide

• Lemniscata de Bernoulli

• Folium de Descartes

Fuentes

• Cicloide [citado 2011 agosto, 18]; Disponible en:[1].

• La cicloide [citado 2011 agosto, 18]; Disponible en:[2]