Producto vectorial en R3

Producto vectorial en R3. En el álgebra lineal se define un K-espacio lineal V que incluye un grupo con la adición de vectores y una operación externa de KxV → V. Además para un espacio vectorial cualquiera se define el producto escalar de VxV → R. Sin embargo, solamente para los vectores de R3 se define el producto vectorial ( o producto aspa), siendo una aplicación de R3 x R3 → R3.

Definición

Sean v y w dos vectores de R3 se define su producto vectorial como una aplicación que al par ordenado (w,v) le asigna el vector z. y se designa v × w = z

El producto vectorial z

tiene las tres tres siguientes condiciones:

1. el módulo del vector z es igual al producto de las normas de v y de w por el seno del ángulo que forman. ||z|| = ||v|||w|| sen <(v,w)
2. El vector z es perpendicular al plano que contiene a los vectores v y w.
3. Teniendo en cuenta que los tres vectores tiene un origen común la dirección de z corresponde a la del dedo cordial, considerando que la dirección de v sigue la dirección del dedo pulgar y la dirección de w, sigue la del dedo índice.

Propiedades

No conmutativa

v × w ≠ w × v, aunque se siene v × w = - w × v

Módulo como área

El módulo del producto v × w es igual al área S del paralelogramo construido sobre los vectores v y w

|| v × w || = S

v × w = Se, donde e es el vector unitario en la dirección de v × w

Desarrollo por determinante

se forma un determinante cuya primera fila ocupan los vectores unitarios i, j, k; en la segunda fila, los componentes de v (v1, v2, v3) y en la tercera fila los componentes de w (w1, w2,w3)

se desarrolla el determinante por los elementos de la primera fila , resulta un vector iz1 + uz2 +kz3.

Fuentes

• Geometría analítica de Kleténik, editorial Mir, Moscú, 1968