Producto vectorial en R3

Producto vectorial en R3. En el álgebra lineal se define un K-espacio lineal V que incluye un grupo con la adición de vectores y una operación externa de KxV → V. Además para un espacio vectorial cualquiera se define el producto escalar de VxV → R. Sin embargo, solamente para los vectores de R3 se define el producto vectorial ( o producto aspa), siendo una aplicación de R3 x R3 → R3.

Definición

Sean v y w dos vectores de R3 se define su producto vectorial como una aplicación que al par ordenado (w,v) le asigna el vector z. y se designa v × w = z

El producto vectorial z

tiene las tres tres siguientes condiciones:

1. el módulo del vector z es igual al producto de las normas de v y de w por el seno del ángulo que forman. ||z|| = ||v|||w|| sen <(v,w)
2. El vector z es perpendicular al plano que contiene a los vectores v y w.
3. Teniendo en cuenta que los tres vectores tiene un origen común la dirección de z corresponde a la del dedo cordial, considerando que la dirección de v sigue la dirección del dedo pulgar y la dirección de w, sigue la del dedo índice.

Propiedades

Distributiva por la izquierda

t×(v+w) =t×v + t×w

también el producto vectorial es distributiva, con respecto a la adición de vectores, por la derecha. pero los resultados con la distribución de los mismos vetores no son iguales

Nulidad

el producto vectorial es el vector 0, cuando un factor es múltiplo escalar del otro, o geometricamente los vectores son paralelos.

Módulo como área

El módulo del producto v × w es igual al área S del paralelogramo construido sobre los vectores v y w

|| v × w || = S

v × w = Se, donde e es el vector unitario en la dirección de v × w

Desarrollo por determinante

se forma un determinante cuya primera fila ocupan los vectores unitarios i, j, k; en la segunda fila, los componentes de v (v1, v2, v3) y en la tercera fila los componentes de w (w1, w2,w3)

se desarrolla el determinante por los elementos de la primera fila , resulta un vector iz1 + uz2 +kz3.

Irregularidad de propiedades típicas de operación algebraica

No conmutativa

v × w ≠ w × v, aunque se tiene v × w = - w × v

No asociativa

se tiene que t×(v×w) ≠ (t×v)×w

Inexistencia de elemento neutro

No hay ningún vector, como elemento neutro, u de modo que se a v×u =v

Por vector cero

Sea el vector cero, denotado 0 = (0, 0, 0), no hay producto v×0, tampoco 0×v, pues el vector cero no tiene dirección.

Fuentes

• Geometría analítica de Kleténik, editorial Mir, Moscú, 1968