Raíz cuadrada de dos
Raíz cuadrada de dos. La escuela Pitagórica hizo un hallazgo de que la raíz cuadrada de dos no se podía expresar como la razón de de dos enteros; un logro que contradecía uno de sus principios de que toda cantidad es la razón de dos enteros y “los números gobiernan el universo”. Sin embargo, fue aceptado por Sócrates, por Eratóstenes, sobre todo desde el punto de vista geométrico. Pues , de alguna manera indicaba la razón de la longitud de la diagonal de un cuadrado a a la longitud de su lado.
Sumario
Definición
La raíz cuadrada de dos, simbolizada por 20.5 es un número real cuyo cuadrado es dos
- Ecuacionalmente
Diremos que d es raíz de dos si, sólo si d2 = 2-
Brevísima historia
- Los babilonios lo conocieron y lo usaron
- En la Escuela de Pitágoras, en Samos, llegaron a demostrar que no había una fracción ( o razón de enteros positivos) cuyo cuadrado sea igual a dos.
- En el siglo XIX con los trabajos de Cantor y Dedekind se llegó a fundamentar y probar que 20.5, no es un número racional [1]
Características
- Infinitud
- una característica es que su representación decimal es infinita, aperiódica.
- Irracionalidad
es un número real irracional
- Algebricidad
es una de las raices de la ecuación algebraica de segundo grado: x2 -2 = 0; por tanto es un número algebraico.
- Desigualdades
- 1 es menor que 20.5 y esta menor que 2
- La raíz cuadrada de n entero es mayor que 20.5, para cualquier entero mayor que 2.
- 1/n0.5 < 1/20.5
Presencia
- En la geometría
- Para la longitud de la diagonal de un cuadrado. d= 20.5l
- Si el lado de un cuadrado es 1, cabe que un lado es menor que la diagonal y esta menor que el semiperímetro.
- La longitud de la altura de un triángulo isósceles de cateto común = 1, es la mitad de 20.5
- La razón de los lados de dos cuadrados cuya relación es de un medio, es 1/2 ×20.5
- En trigonometría
- El seno y coseno del ángulo de π/4 es igual a 20.5/4
- Lo mismo el seno y coseno de un ángulo de π/8 involucra la raíz cuadrada de 2.
Cálculo recursivo
Se parte de que 20.5 = (2/xi × xi) 0.5 = 0.5× ( 2/xi +xi) desde x1 = 2, por ejemplo, es un algorimo programable de mucha eficiencia [2]
Referencias
Fuentes
José Vicente Ampuero: "Aritmética teórica", Editorial UNMS; LIma 1960
- Colección Shaumm Álgebra Moderna