Diferencia entre revisiones de «Teorema de Wilson ( Teoría de números)»
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última versión al 13:17 27 feb 2020
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Teorema de Wilson ( Teoría de números). En matemáticas, especialmente en la teoría de números hay una proposición que vincula tres conceptos: primalidad, factorial de un número entero no nulo y congruencia de números respecto de un módulo. Este es el teorema de Wilson.
Sumario
Enunciado
(m-1)! ~ -1(mod m) siempre que m sea racional primo.
- Por cierto el recíproco de este teorema se puede demostrar con facilidad, en lenguaje implicativo, de
(k-1)! ~ -1(mod k) se deduce que k es primo, si ello no ocurriera k y (k-1)! tienen un divisor común, lo que es una contradicción. Por lo tanto , el teorema provee una condición necesaria y suficiente para que k sea un número primo.
Prueba
Vamos a considerar el conjunto de los números
- 1, 2, 3,…, m-2, m-1 y sea la pareja de 2 el número b2 de la lista para el cual 2 a2 ~ 1 (mod m) sabemos que tal número existe puesto que 2 es primo respectp a m. Después podemos vincular 3 con su pareja y así sucesivamente. Si h fuera su propia pareja, h al cuadrado sería congruente con 1 mod m, de donde h2 -1 = 0, hecho que exige que h = m-1 o
h = 1. Luego descartando estos dos números se tiene:
- (m-2)! ~ (2 b2)() ()… ()(mod m),
- Donde en cada paréntesis hay dos números cuyo producto es congruente con 1 mod m, de donde:
- (m-1)! ~ 1 (1) (1) … (1)(p-1) ~ -1 (mod)
Ejemplo
Lo anterior podemos esclarecer con un ejemplo. Sea m= 11. Ello implica 2y ~ 1 (mod 11) posee una solución = 6, por lo que 2 y 6 constituyen una pareja, la pareja de 4 es 3 y otros. Cabe escribir:
- 10! = 1(2.6) (3.4)(5.9)(7.8)(10)= 1.1.1.1.1.(-1) ~ -1.