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Geometría

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Geometría
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Concepto:Parte de la matemática que estudia las idealizaciones del espacio en que vivimos: los puntos, las rectas y los planos; y otros elementos conceptuales derivados de ellos, como polígonos o poliedros.

Geometría es una parte de las matemáticas mediante la cual se estudian las propiedades y las medidas de las figuras en el plano y en el espacio.

Introducción

En el siglo III a. n. e., Euclides dio expresión matemática a todas las experiencias del hombre con la geometría, en su obra “Elementos”, que se mantuvo sin modificaciones hasta más de dos mil años después.

En esta obra se presentó de manera formal el estudio de las propiedades de líneas y planos, círculos y esferas, triángulos y conos, entre otros. Los teoremas o postulados (axiomas) que nos presentó Euclides son los que nos enseñan aún en la escuela.

Un ejemplo de un postulado sería: “en un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”, que es el famoso teorema de Pitágoras.

Utilidad

La geometría de Euclides, ha sido muy útil en la matemática como también en otras ciencias como la física, la astronomía, la química y diversas ingenierías. Sirve para solucionar problemas concretos:

El avance de la geometría

El avance de la geometría depende del avance en las definiciones; p. ej. las propiedades de los triángulos serían posibles de enunciar sin hacer referencia a estos pero sería un proceso largo tedioso e inútil.

Figuras fundamentales

Figuras geométricas planas (polígonos y círculo)

Definiciones

    • En la recta se pueden ver: Segmentos, semirectas y vectores
    • En el plano, una recta determina dos semiplanos, su intersección determina las figuras convexas: faja, Ángulo, Triángulo, cuadrángulo y Polígono.
    • Utilizando el concepto de distancia: se definen: el círculo y la esfera.
    • Utilizando el concepto de semiespacio se definen: el diedro, el espacio prismático, el triedro, el ángulo poliedro, y los poliedros. Entre los últimos encontramos como casos particulares: el tetraedro, el prisma, la pirámide y el paralelopípedo.
    • El concepto de círculo en el espacio da origen a: el cono y el cilindro

Relaciones y propiedades entre dos rectas

Entre dos o más figuras puede haber relaciones diferentes:

  • Dos rectas pueden ser:
  • En el espacio, también pueden ser alabeadas (o cruzadas). * Un concepto muy importantes dentro de la geometría es el de congruencia o igualdad.

Clases de Geometría

  • Geometría plana. En ella se da por cierto el axioma del paralelismo de Euclides. Se consideran las figuras cuyos puntos están todos en un plano.
  • Geometría espacial (también llamada Geometría del espacio): extensiones de los axiomas relativos al plano. Se estudian las figuras cuyos puntos no están todos en un mismo plano.
  • Geometría analítica: Estudio de figuras mediante un sistema de coordenadas y métodos de análisis matemático.
  • Geometría algebraica. Aplicación del álgebra a la geometría para, por medio del cálculo, resolver ciertos problemas.
  • Geometrías no euclídeas: Estudio de otros axiomas como diferentes postulados de paralelismo o de existencia de conjuntos de puntos mayores que el plano (y menores que el espacio)
  • Geometría proyectiva. Se tratan las proyecciones de las figuras sobre un plano.
  • Geometría descriptiva. Se encarga de la resolución de los problemas de la geometría del espacio por medio de operaciones efectuadas en un plano. Tiene entre sus objetivos:
  1. Solución de los problemas de la geometría del espacio por medio de operaciones efectuadas en un plano.
  2. Representación de las figuras de los sólidos en un plano.
  3. Suministrar las bases del dibujo técnico.

Formas geométricas

Clasificación de las formas geométricas elementales.

  • Formas geométricas planas:
  • Formas geométricas espaciales:
  • Superficies de revolución:

Curiosidad

Geometría sin lenguaje escrito ni sistema numérico

Los indios Pueblo, que habitaron lo que es el suroeste estadounidense, utilizaron complejas formas geométricas para levantar sofisticados complejos arquitectónicos, pese a no tener lenguaje escrito ni sistema numérico.
Universidad de Arizona.Basado en la investigación de Sherry Towers, profesor del Centro de Ciencias Matemáticas, Computacionales y de Modelado de la Arizona State University (Univeridad Estatal de Arizona)

Fuentes