Cotangente
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Cotangente. En un triángulo rectángulo, es la longitud del lado adyacente dividida por la longitud del lado opuesto.
Sumario
Razones en el triángulo rectángulo
Las razones (cocientes) entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo dependen solo de las amplitudes de sus ángulos agudos. Veamos esta afirmación con más detenimiento (figura 1):
Sea MAN un ángulo agudo. Desde un punto cualquiera de uno de sus lados (B) distinto del vértice A consideremos una recta perpendicular al otro lado, formando el triángulo ABC rectángulo en C, o sea con catetos de longitudes a y b, e hipotenusa c.
Sea B' otro punto cualquiera (B' ≠ A) del lado AM y B un punto cualquiera (B ≠ A) del lado AN. Consideremos las perpendiculares B'C' y BC a AN y AM respectivamente. Los tres triángulos ABC, AB'C' y ABC tienen sus ángulos iguales (ya que son rectángulos y tienen un ángulo común), luego son semejantes, y como tales sus lados homólogos son proporcionales.
Cotangente
Estas razones entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo son de importancia fundamental en el estudio de la trigonometría. Para un ángulo agudo del triángulo rectángulo, a la razón entre la longitud del cateto adyacente al ángulo y la longitud del cateto opuesto al ángulo se le llama cotangente del ángulo y se denota por cot (ctg), o sea:
cot α = b/a, y cot β = a/b
Por ser α y β ángulos complementarios, en las relaciones anteriores se observa que:
cot α = 1/(cot(90° - α))
Valores de la cotangente para los ángulos notables de 30°, 45° y 60°
Consideremos un triángulo ABC equilátero de lado 2 (figura 2). Sea BD la perpendicular por B a AC. En en triángulo ADB rectángulo en D se tiene que el ángulo DAB mide 60° y el ángulo ABD mide 30°, AB = 2, AD = 1, BD = √3, por lo tanto:
cot 30° = √3
cot 60° = √3/3
Para comprobar que cot 45° = 1 basta considerar un triángulo rectángulo isósceles.
