Diferencia entre revisiones de «Grupo conmutativo»
(Página creada con '{{Definición|nombre=Grupo|imagen=Matemática.jpg|concepto=Dícese de todo grupo ''<G,*>'' cuya operacion es conmutativa.}} <div align="justify"> '''Grupo algebraico'''. En [[Á...') |
(→Fuentes: con mayúscula inicial) |
||
| (No se muestran 7 ediciones intermedias de 7 usuarios) | |||
| Línea 1: | Línea 1: | ||
| − | {{Definición|nombre=Grupo|imagen=Matemática.jpg|concepto=Dícese de todo grupo ''<G,*>'' cuya | + | {{Definición|nombre=Grupo conmutativo|imagen=Matemática.jpg|concepto=Dícese de todo grupo ''<G,*>'' cuya operación es conmutativa.}} |
| − | |||
| − | |||
| − | + | En matemáticas, concretamente en álgebra moderna, un '''grupo abeliano''' o '''grupo conmutativo''' es el grupo algebraico ( H, * ) en el que se verifica la llamada '''propiedad conmutativa''' de la operación interna * definida en él. | |
| − | + | ||
| + | * Para cualquier par de elementos h,g que están en H, se cumple h*g = g*h. | ||
| − | + | Los grupos abelianos llevan tal denominación en honra de la memoria del matemático [[Noruega|noruego]]. [[Niels Henrik Abel]]. ( genio escogido por dios), quien utilizó estos grupos al investigar las posibles soluciones de las ecuaciones algebraicas mediante las operaciones aritméticas y los radicales. En la literatura científica sobre álgebra moderna se usa más el término "grupo abeliano" y la notación aditiva. | |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | + | Los grupos que no cumplen la conmutatividad se denominan ''''' anabelianos''''' o ''no conmutativos''). | |
| + | ==Notación== | ||
| + | Hay dos notaciones principales para los grupos abelianos: aditiva y multiplicativa, descritas a continuación. | ||
| + | ; aditiva | ||
| + | : a+b = b+a, | ||
| + | : a + 0 = 0 + a = a; 0 = elemento identidad | ||
| + | : a +(-a) = (-a) + a = 0; - a = elemento opuesto | ||
| − | + | ; multiplicativa | |
| − | ==Ejemplos | + | : a×b = b×a, |
| + | : a ×1 = 1 ×a = a; 1 = elemento identidad | ||
| + | : a x a<sup>-1</sup> = a<sup>-1</sup> ×a = 1; a<sup>-1</sup> = inverso multiplicativo | ||
| + | |||
| + | Cuando se trabaja sólo con grupos abelianos, normalmente se usa la notación aditiva. | ||
| + | |||
| + | ==Ejemplos== | ||
* Los números enteros y la suma conforman un grupo pues la suma es cerrada y asociativa, el 0 es el neutro y para toda ''k'' entera su opuesto ''-k'' es el inverso, en este caso además la suma es conmutativa por tanto es también un grupo abeliano. | * Los números enteros y la suma conforman un grupo pues la suma es cerrada y asociativa, el 0 es el neutro y para toda ''k'' entera su opuesto ''-k'' es el inverso, en este caso además la suma es conmutativa por tanto es también un grupo abeliano. | ||
* En cambio, los [[número natural|naturales]] y la adición no son un grupo conmutativo porque incumplen la existencia del un neutro y no existen los inversos. | * En cambio, los [[número natural|naturales]] y la adición no son un grupo conmutativo porque incumplen la existencia del un neutro y no existen los inversos. | ||
| Línea 32: | Línea 39: | ||
** Aunque a primera pudieran ser neutros tanto el 0 como el 1, en la definición de ''^'' se ve que ''1^1=1'' y que en cualquier caso ''1^x=x^1=x''; entonces, ''1'' es el neutro de ''B'' para la ''y lógica''. | ** Aunque a primera pudieran ser neutros tanto el 0 como el 1, en la definición de ''^'' se ve que ''1^1=1'' y que en cualquier caso ''1^x=x^1=x''; entonces, ''1'' es el neutro de ''B'' para la ''y lógica''. | ||
** El inverso de todos los elementos de ''B'' es ''0''. | ** El inverso de todos los elementos de ''B'' es ''0''. | ||
| − | ** El análisis de la conmutatividad de ''^'' se concentra solo en el caso en que los elementos son distintos, es decir ''1^0=0^1=0'' lo cual verifica el hecho de que es | + | ** El análisis de la conmutatividad de ''^'' se concentra solo en el caso en que los elementos son distintos, es decir ''1^0=0^1=0'' lo cual verifica el hecho de que es conmutativa. |
| + | |||
| + | ==Contraejemplos== | ||
| + | * Los cuaternios no nulos con la multiplicación forman un grupo anabeliano. | ||
| + | * Las matrices cuadradas reales o complejas de orden n, con determinante no nulo, forman un grupo no conmutativo. | ||
| + | == Propiedades == | ||
| + | * Si ''n'' es un [[número natural]] y ''x'' un elemento de un grupo abeliano ''G'' (con notación aditiva), se puede definir ''nx'' = ''x'' + ''x'' +... + ''x'' (''n'' sumandos), y (−''n'')''x'' = −(''nx''), con lo que ''G'' se vuelve un [[módulo (matemática)|módulo]] sobre el anillo '''Z''' de los enteros. De hecho, los módulos sobre '''Z''' no son otros que los grupos abelianos. | ||
| + | * Si ''f'', ''g'': ''G'' → ''H'' son dos [[homomorfismo]]s entre grupos abelianos, su suma (definida por (''f'' + ''g'')(''x'') = ''f''(''x'') + ''g''(''x'')) es también un homomorfismo; esto no se cumple en general para grupos no abelianos. Con esta operación, el conjunto de homomorfismos entre ''G'' y ''H'' se vuelve, entonces, un grupo abeliano en sí mismo. | ||
| + | * Sean C un grupo abeliano y H un subgrupo de todos los elementos de orden finito. Entonces C/H es aperiódico | ||
| + | * Un grupo abeliano generado por una cantidad finita de elementos, m, tiene una base de por lo menos m elementos. | ||
| + | |||
| + | * Sea t un elemento de orden pq con mcd (p,q) =1, entonces t tiene una representación única t = rs= sr, siendo r de orden p y s de orden q; r y s son potencias de t.<ref>Marshall Hall Jr. Teoría de los grupos, Trillas, México D.F. 1979</ref> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | ==Fuentes== | ||
| + | # Marshall Hall Jr. Teoría de los grupos | ||
| + | # Paul Dubreil: Teoría de Grupos. | ||
| − | == | + | ==Referencias== |
| − | + | {{listaref}} | |
| − | |||
| − | + | [[Categoría:Álgebra]][[Categoría:Álgebra moderna]][[Categoría:Sistemas algebraicos]] | |
| − | [[Categoría: | + | [[Categoría:Grupos algebraicos]] |
última versión al 10:16 21 oct 2019
| ||||||
En matemáticas, concretamente en álgebra moderna, un grupo abeliano o grupo conmutativo es el grupo algebraico ( H, * ) en el que se verifica la llamada propiedad conmutativa de la operación interna * definida en él.
- Para cualquier par de elementos h,g que están en H, se cumple h*g = g*h.
Los grupos abelianos llevan tal denominación en honra de la memoria del matemático noruego. Niels Henrik Abel. ( genio escogido por dios), quien utilizó estos grupos al investigar las posibles soluciones de las ecuaciones algebraicas mediante las operaciones aritméticas y los radicales. En la literatura científica sobre álgebra moderna se usa más el término "grupo abeliano" y la notación aditiva.
Los grupos que no cumplen la conmutatividad se denominan anabelianos o no conmutativos).
Notación
Hay dos notaciones principales para los grupos abelianos: aditiva y multiplicativa, descritas a continuación.
- aditiva
- a+b = b+a,
- a + 0 = 0 + a = a; 0 = elemento identidad
- a +(-a) = (-a) + a = 0; - a = elemento opuesto
- multiplicativa
- a×b = b×a,
- a ×1 = 1 ×a = a; 1 = elemento identidad
- a x a-1 = a-1 ×a = 1; a-1 = inverso multiplicativo
Cuando se trabaja sólo con grupos abelianos, normalmente se usa la notación aditiva.
Ejemplos
- Los números enteros y la suma conforman un grupo pues la suma es cerrada y asociativa, el 0 es el neutro y para toda k entera su opuesto -k es el inverso, en este caso además la suma es conmutativa por tanto es también un grupo abeliano.
- En cambio, los naturales y la adición no son un grupo conmutativo porque incumplen la existencia del un neutro y no existen los inversos.
- Sea Mn el conjunto de las matrices cuadradas de orden n, puede decirse que <Mn,+> es un grupo conmutativo.
- Para todas las matrices cuadradas de n filas A y B A+B también es una matriz cuadrada de n filas y columnas.
- La suma de matrices cuadradas del mismo orden n es asociativa.
es el neutro para la suma.- Para toda matriz cuadrada de n filas y columnas
se tiene su inverso dado por 
y según la suma de matrices 
. - La suma de matrices cuadradas de orden n es conmutativa.
- También es un grupo conmutativo <Mn,m,+>, donde Mn,m es el conjunto de matrices de n filas y m columnas.
- Sea un cuerpo <C,*,@>; <C,*> y <C,@> son grupos abelianos por la definición del mismo.
- Para el conjunto de cifras binarias B={0,1} y la operación binaria ^ (AND ó y lógico) definida como {<0,0,0>,<0,1,0>,<1,0,0>,<1,1,1>} es un grupo abeliano porque:
- Por la definición de ^ se observa que es autocontenida o cerrada en B.
- Es asociativa.
- Aunque a primera pudieran ser neutros tanto el 0 como el 1, en la definición de ^ se ve que 1^1=1 y que en cualquier caso 1^x=x^1=x; entonces, 1 es el neutro de B para la y lógica.
- El inverso de todos los elementos de B es 0.
- El análisis de la conmutatividad de ^ se concentra solo en el caso en que los elementos son distintos, es decir 1^0=0^1=0 lo cual verifica el hecho de que es conmutativa.
Contraejemplos
- Los cuaternios no nulos con la multiplicación forman un grupo anabeliano.
- Las matrices cuadradas reales o complejas de orden n, con determinante no nulo, forman un grupo no conmutativo.
Propiedades
- Si n es un número natural y x un elemento de un grupo abeliano G (con notación aditiva), se puede definir nx = x + x +... + x (n sumandos), y (−n)x = −(nx), con lo que G se vuelve un módulo sobre el anillo Z de los enteros. De hecho, los módulos sobre Z no son otros que los grupos abelianos.
- Si f, g: G → H son dos homomorfismos entre grupos abelianos, su suma (definida por (f + g)(x) = f(x) + g(x)) es también un homomorfismo; esto no se cumple en general para grupos no abelianos. Con esta operación, el conjunto de homomorfismos entre G y H se vuelve, entonces, un grupo abeliano en sí mismo.
- Sean C un grupo abeliano y H un subgrupo de todos los elementos de orden finito. Entonces C/H es aperiódico
- Un grupo abeliano generado por una cantidad finita de elementos, m, tiene una base de por lo menos m elementos.
- Sea t un elemento de orden pq con mcd (p,q) =1, entonces t tiene una representación única t = rs= sr, siendo r de orden p y s de orden q; r y s son potencias de t.[1]
Fuentes
- Marshall Hall Jr. Teoría de los grupos
- Paul Dubreil: Teoría de Grupos.
Referencias
- ↑ Marshall Hall Jr. Teoría de los grupos, Trillas, México D.F. 1979
