Grupo conmutativo

Grupo conmutativo Concepto: Dícese de todo grupo <G,*> cuya operación es conmutativa.

En matemáticas, concretamente en álgebra moderna, un grupo abeliano o grupo conmutativo es el grupo algebraico ( H, * ) en el que se verifica la llamada propiedad conmutativa de la operación interna * definida en él.

• Para cualquier par de elementos h,g que están en H, se cumple h*g = g*h.

Los grupos abelianos llevan tal denominación en honra de la memoria del matemático noruego. Niels Henrik Abel. ( genio escogido por dios), quien utilizó estos grupos al investigar las posibles soluciones de las ecuaciones algebraicas mediante las operaciones aritméticas y los radicales. En la literatura científica sobre álgebra moderna se usa más el término "grupo abeliano" y la notación aditiva.

Los grupos que no cumplen la conmutatividad se denominan anabelianos o no conmutativos).

Notación

Hay dos notaciones principales para los grupos abelianos: aditiva y multiplicativa, descritas a continuación.

aditiva

a+b = b+a,

a + 0 = 0 + a = a; 0 = elemento identidad

a +(-a) = (-a) + a = 0; - a = elemento opuesto

multiplicativa

a×b = b×a,

a ×1 = 1 ×a = a; 1 = elemento identidad

a x a^-1 = a^-1 ×a = 1; a^-1 = inverso multiplicativo

Cuando se trabaja sólo con grupos abelianos, normalmente se usa la notación aditiva.

Ejemplos

• Los números enteros y la suma conforman un grupo pues la suma es cerrada y asociativa, el 0 es el neutro y para toda k entera su opuesto -k es el inverso, en este caso además la suma es conmutativa por tanto es también un grupo abeliano.
• En cambio, los naturales y la adición no son un grupo conmutativo porque incumplen la existencia del un neutro y no existen los inversos.
• Sea M_n el conjunto de las matrices cuadradas de orden n, puede decirse que <M_n,+> es un grupo conmutativo.
  • Para todas las matrices cuadradas de n filas A y B A+B también es una matriz cuadrada de n filas y columnas.
  • La suma de matrices cuadradas del mismo orden n es asociativa.
  • es el neutro para la suma.
  • Para toda matriz cuadrada de n filas y columnas se tiene su inverso dado por y según la suma de matrices .
  • La suma de matrices cuadradas de orden n es conmutativa.
• También es un grupo conmutativo <M_n,m,+>, donde M_n,m es el conjunto de matrices de n filas y m columnas.
• Sea un cuerpo <C,*,@>; <C,*> y <C,@> son grupos abelianos por la definición del mismo.
• Para el conjunto de cifras binarias B={0,1} y la operación binaria ^ (AND ó y lógico) definida como {<0,0,0>,<0,1,0>,<1,0,0>,<1,1,1>} es un grupo abeliano porque:
  • Por la definición de ^ se observa que es autocontenida o cerrada en B.
  • Es asociativa.
  • Aunque a primera pudieran ser neutros tanto el 0 como el 1, en la definición de ^ se ve que 1^1=1 y que en cualquier caso 1^x=x^1=x; entonces, 1 es el neutro de B para la y lógica.
  • El inverso de todos los elementos de B es 0.
  • El análisis de la conmutatividad de ^ se concentra solo en el caso en que los elementos son distintos, es decir 1^0=0^1=0 lo cual verifica el hecho de que es conmutativa.

Contraejemplos

• Los cuaternios no nulos con la multiplicación forman un grupo anabeliano.
• Las matrices cuadradas reales o complejas de orden n, con determinante no nulo, forman un grupo no conmutativo.

Propiedades

• Si n es un número natural y x un elemento de un grupo abeliano G (con notación aditiva), se puede definir nx = x + x +... + x (n sumandos), y (−n)x = −(nx), con lo que G se vuelve un módulo sobre el anillo Z de los enteros. De hecho, los módulos sobre Z no son otros que los grupos abelianos.
• Si f, g: G → H son dos homomorfismos entre grupos abelianos, su suma (definida por (f + g)(x) = f(x) + g(x)) es también un homomorfismo; esto no se cumple en general para grupos no abelianos. Con esta operación, el conjunto de homomorfismos entre G y H se vuelve, entonces, un grupo abeliano en sí mismo.
• Sean C un grupo abeliano y H un subgrupo de todos los elementos de orden finito. Entonces C/H es aperiódico
• Un grupo abeliano generado por una cantidad finita de elementos, m, tiene una base de por lo menos m elementos.

• Sea t un elemento de orden pq con mcd (p,q) =1, entonces t tiene una representación única t = rs= sr, siendo r de orden p y s de orden q; r y s son potencias de t.

Fuentes

1. Marshall Hall Jr. Teoría de los grupos
2. Paul Dubreil: Teoría de Grupos.