Diferencia entre revisiones de «Seno (geometría)»
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| + | '''Seno.''' En trigonometría el seno de un ángulo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa. | ||
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| + | Sea el triángulo OAB con A(x<sub>1</sub>, y<sub>1</sub>) B ( x<sub>2</sub>, y<sub>2</sub>) y O el origen | ||
| + | : en coordenadas polares A (ρ<sub>1</sub> , φ<sub>1</sub>); B (ρ<sub>2</sub> , φ<sub>2</sub>) | ||
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| + | : x<sub>1</sub> = ρ<sub>1</sub> cos φ<sub>1</sub>; y<sub>1</sub> = ρ<sub>1</sub> sen φ<sub>1</sub>; x<sub>2</sub> = ρ<sub>2</sub> cos φ<sub>2</sub>; y<sub>2</sub> = ρ<sub>2</sub> sen φ<sub>2</sub> | ||
| + | : El área en coordenadas polares es 0.5 ρ<sub>1</sub> ρ<sub>2</sub> sen (φ<sub>2</sub>-φ<sub>1</sub>) | ||
| + | : según (1) resulta 0.5 ρ<sub>1</sub> ρ<sub>2</sub> ( sen φ<sub>1</sub> cos φ<sub>2</sub>- cos φ<sub>1</sub> sen φ<sub>2</sub>) | ||
| + | : De donde sen (φ<sub>2</sub>-φ<sub>1</sub>) = sen φ<sub>1</sub> cos φ<sub>2</sub>- cos φ<sub>1</sub> sen φ<sub>2</sub>, la conocida fórmula de la trigonometría. <ref> L.S. Pontriaguin: ''Método de coordenadas'' Editorial URSS Moscú (2011) </ref> | ||
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Seno. En trigonometría el seno de un ángulo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa.
Sumario
Razones en el triángulo rectángulo
Las razones (cocientes) entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo dependen solo de las amplitudes de sus ángulos agudos. Veamos esta afirmación con más detenimiento (figura 1):
Sea MAN un ángulo agudo. Desde un punto cualquiera de uno de sus lados (B) distinto del vértice A consideremos una recta perpendicular al otro lado, formando el triángulo ABC rectángulo en C, o sea con catetos de longitudes a y b, e hipotenusa c.
Sea B' otro punto cualquiera (B' ≠ A) del lado AM y B un punto cualquiera (B ≠ A) del lado AN. Consideremos las perpendiculares B'C' y BC a AN y AM respectivamente. Los tres triángulos ABC, AB'C' y ABC tienen sus ángulos iguales (ya que son rectángulos y tienen un ángulo común), luego son semejantes, y como tales sus lados homólogos son proporcionales.
Seno
Estas razones entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo son de importancia fundamental en el estudio de la trigonometría. Para un ángulo agudo del triángulo rectángulo, a la razón entre la longitud del cateto opuesto al ángulo y la longitud de la hipotenusa del tríangulo rectángulo se le llama Seno del ángulo y se denota por sen (sin), o sea:
sen α = a/c, y sen β = b/c
Valores del seno para los ángulos notables de 30°, 45° y 60°
Consideremos un triángulo ABC equilátero de lado 2 (figura 2). Sea BD la perpendicular por B a AC. En en triángulo ADB rectángulo en D se tiene que el ángulo DAB mide 60° y el ángulo ABD mide 30°, AB = 2, AD = 1, BD = √3, por lo tanto:
sen 30° = 1/2
sen 60° = √3/2
Para comprobar que sen 45° = √2/2 basta considerar un triángulo rectángulo isósceles.
Seno de la diferencia de ángulos
Sea el triángulo OAB con A(x1, y1) B ( x2, y2) y O el origen
- en coordenadas polares A (ρ1 , φ1); B (ρ2 , φ2)
- el área del triángulo es 0.5(x1y2- x2y1) → (1)
- x1 = ρ1 cos φ1; y1 = ρ1 sen φ1; x2 = ρ2 cos φ2; y2 = ρ2 sen φ2
- El área en coordenadas polares es 0.5 ρ1 ρ2 sen (φ2-φ1)
- según (1) resulta 0.5 ρ1 ρ2 ( sen φ1 cos φ2- cos φ1 sen φ2)
- De donde sen (φ2-φ1) = sen φ1 cos φ2- cos φ1 sen φ2, la conocida fórmula de la trigonometría. [1]
Fuentes
Referencias
- ↑ L.S. Pontriaguin: Método de coordenadas Editorial URSS Moscú (2011)
