Diferencia entre revisiones de «Número e»
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Revisión del 15:43 28 feb 2012
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Número e . Número irracional y trascendental, base del logaritmo natural o neperiano, cuya primera referencia se debe al matemático y teólogo escocés John Napier en su trabajo Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio de 1614, aunque en el mismo no aparecía aproximación alguna del valor numérico de e hasta que Jacob Bernoulli obtuvo el primer valor resolviendo un problema de interés monetario sobre una cantidad inicial fija a largo plazo.
Esta constante es de radical importancia primero en las matemáticas y luego en muchos otros sectores de la producción, la ciencia y la vida cotidiana. Si bien el número pi orbita al centro de la trigonometría; e juega un papel primordial en el cálculo en tanto forma parte de muchos los resultados fundamentales de límites, derivadas, integrales, series, etc.
Las funciones que parten de su valor: el logaritmo natural y la función exponencial tienen propiedades bien conocidas dentro de las matemáticas y expresiones simples de cálculo numérico que permite que sobre ellas se soporten computacionalmente otras funciones tradicionales. Por ejemplo, los valores menos típicos del seno y coseno se calculan aprovenchando la relación entre las representaciones trigonométrica y exponencial de los números complejos.
Entre sus muchos nombres equivalentes están:
- Constante e.
- Número o constante de Euler.
- Número o constante de Napier (o neper, como suele romanizarse).
Historia.
La primera referencia indirecta a e está dada en Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio, el famoso texto de 1614 de John Napier donde se exponía por primera vez sus ideas sobre logaritmos, antilogaritmos, resultados y tablas de cálculos de los mismos; sin embargo la primera aproximación la obtendría Jacob Bernoulli en la solución del problema del interés a largo plazo de una cantidad fija inicial que lo llevó tras sucesivas iteraciones al muy conocido ahora límite:
cuyo valor fijó en 2.7182818.
Luego el matemático y filósofo Gottfried Leibniz en las cartas de 1690 y 1691 a Christiaan Huygens hizo uso del valor representándolo con la letra b.
Fue Leonard Euler quien comenzó en 1727 a identificar el número con su símbolo actual: la letra e, pero no es hasta diez años después que la presenta a la comunidad matemática en su libro Mechanica.
Posteriormente los especialistas usarían a, b, c y e hasta que finalmente triunfó esta última para representar al número irracional.
Charles Hermite demostró en 1873 que se trataba de un número trascendental.
Sus aproximaciones comenzaron con el trabajo de Bernoulli, después Euler realizó una aproximación de 18 lugares tras la coma y así se han producido al igual que en la determinación de los lugares de pi una especie de carrera que tuvo en 2010 su más reciente edición cuando Shigeru Kondo y Alexander J. Yee determinaron 1 billón de decimales exactos de e.
Definiciones.
El número real e es el resultado de las siguientes expresiones:
(Límite fundamental algebraico).- Archivo:E igual serie potencias.gif (Como serie de fracciones como caso particular del desarrollo en series de Lagrange de ex cuando x=1).
- Las fracciones continuas:
(descubierta por Leonard Euler).
.
- ln x = 1.
Importancia.
La constante de Euler tiene una serie de propiedades o se emplea en la definición de expresiones de gran aplicación en muchas áreas del conocimiento humano.
Primeramente, e es un número irracional cuya demostración se realiza mediante el método de reducción al absurdo. Charles Hermite demostró que es un número trascendente y se plantea que es normal.
Luego, su valor constituye el resultado del límite fundamental algebraico:
Es la base de la función logaritmo natural definida:
la cual es la función inversa de la exponencial:
que como se conoce conserva su propiedad ante la integral y la derivada es decir:
quien puede calcularse computacionalmente por ejemplo mediante el desarrollo de series de derivadas de Lagrange:
(1)
y puede extenderse al cuerpo de los números complejos gracias a la relación entre las representaciones exponencial y trigonométrica de aquellos.
Fuentes.
- Carl B. Allendoerfer, Cletus O. Oakley. Introducción moderna a la matemática superior. Ediciones del Castillo, Madrid. 1967.
- K. Ríbnikov. Historia de las Matemáticas. Editorial Mir, Moscú. 1987.
- Número e en Wikipedia. Revisado 27 de febrero de 2012.
