Diferencia entre revisiones de «Semigrupo»
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La propiedad asociativa: (x*y)*z = a*z = a=x*a= x*(z*t). Trivialmente, todo conjunto no vacío con la ley de composición interna *, resulta un semigrupo. <ref>D.A.R. Wallace. Limusa, México (1978) </ref> | La propiedad asociativa: (x*y)*z = a*z = a=x*a= x*(z*t). Trivialmente, todo conjunto no vacío con la ley de composición interna *, resulta un semigrupo. <ref>D.A.R. Wallace. Limusa, México (1978) </ref> | ||
* El conjunto N = {0,1,2...n,...} de los naturales con la adición y la multiplicación es un semigrupo, pues estas dos operaciones son leyes de composición interna, esto, es a cada par de n. naturales le corresponde un número natural que es su suma o producto según el caso. Sin embargo N o es semigrupo con la resta, pues esta es una operación parcialmente definida, ya que para algunos pares ordenados de n. naturales no existe su diferencia; lo mismo para la división de n. naturales. | * El conjunto N = {0,1,2...n,...} de los naturales con la adición y la multiplicación es un semigrupo, pues estas dos operaciones son leyes de composición interna, esto, es a cada par de n. naturales le corresponde un número natural que es su suma o producto según el caso. Sin embargo N o es semigrupo con la resta, pues esta es una operación parcialmente definida, ya que para algunos pares ordenados de n. naturales no existe su diferencia; lo mismo para la división de n. naturales. | ||
| − | * En el caso de los números enteros, la sustracción es una operación totalmente definida, es una ley de composición interna; sin embargo se cumple la propiedad asociativa; pues los casos a-(b-c) y (a-b)-c en casi | + | * En el caso de los números enteros, la sustracción es una operación totalmente definida, es una ley de composición interna; sin embargo, no se cumple la propiedad asociativa; pues los casos a-(b-c) y (a-b)-c en casi todos los casos. De modo que el conjunto Z de los n. enteros no es un semigrupo con la sustracción. |
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| + | Sea T el conjunto de las potencias de tres , siendo T = {3<sup>n</sup>/ n es un n. entero} el conjunto T con la multiplicación es un semigrupo, ya que el producto de dos potencias de 3 es una potencia de 3; además el producto en T, hereda la propiedad asociativa del producto de los enteros, por ser un subconjunto de Z. | ||
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Revisión del 10:17 22 oct 2015
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Semigrupo. En Álgebra dícese de la estructura algebraica conformada por el par <G,*>, tales que G es un conjunto no vacío y * es una operación binaria; entonces se cumple que * es cerrada y asociativa.
En el caso que <G,*> sea semigrupo y la operación sea conmutativa se dice que es un semigrupo conmutativo o abeliano.
Definición.
Sea un conjunto G y la operación binaria * definida como *(x,y)=z, normalmente escrita como x*y=z que satisface los axiomas:
- Clausura:
. * es cerrada. - Asociatividad: Para todo x, y, z de G, (x*y)*z=x*(y*z).
Se dice que G con la operación * es un semigrupo.
Nótese que los semigrupos se diferencian de los grupos en que estos son semigrupos que además tienen elemento neutro y por cada elemento del conjunto tienen uno y solo un elemento inverso.
Ejemplos.
- Todo grupo <G,*> es un semigrupo.
- Los siguientes son semigrupos representados en forma tabular:
| <{a,b},@> | <{a,b,c},*> | |||||||||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
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Otros casos
- Sea S un conjunto no vacío a un elemento fijo, definamos x*y = a, para cualesquiera x, y elementos de S. La clausura de * se cumple.
La propiedad asociativa: (x*y)*z = a*z = a=x*a= x*(z*t). Trivialmente, todo conjunto no vacío con la ley de composición interna *, resulta un semigrupo. [1]
- El conjunto N = {0,1,2...n,...} de los naturales con la adición y la multiplicación es un semigrupo, pues estas dos operaciones son leyes de composición interna, esto, es a cada par de n. naturales le corresponde un número natural que es su suma o producto según el caso. Sin embargo N o es semigrupo con la resta, pues esta es una operación parcialmente definida, ya que para algunos pares ordenados de n. naturales no existe su diferencia; lo mismo para la división de n. naturales.
- En el caso de los números enteros, la sustracción es una operación totalmente definida, es una ley de composición interna; sin embargo, no se cumple la propiedad asociativa; pues los casos a-(b-c) y (a-b)-c en casi todos los casos. De modo que el conjunto Z de los n. enteros no es un semigrupo con la sustracción.
Este mismo conjunto de los n. enteros es un semigrupo con la multiplicación de números enteros pares; pues se cumple que el producto de dos números pares es par y se cumple la propiedad asociativa.
Sea T el conjunto de las potencias de tres , siendo T = {3n/ n es un n. entero} el conjunto T con la multiplicación es un semigrupo, ya que el producto de dos potencias de 3 es una potencia de 3; además el producto en T, hereda la propiedad asociativa del producto de los enteros, por ser un subconjunto de Z.
Referencias
- ↑ D.A.R. Wallace. Limusa, México (1978)
Fuentes.
- Carl B. Allendoerfer, Cletus O. Oakley. Introducción moderna a la matemática superior. Ediciones del Castillo, Madrid. 1967.
