Semigrupo

Semigrupo Concepto: Estructura algebraica de un conjunto y una operación sobre éste que es cerrada y asociativa.

Semigrupo. En Álgebra dícese de la estructura algebraica conformada por el par <G,*>, tales que G es un conjunto no vacío y * es una operación binaria; entonces se cumple que * es cerrada y asociativa.

En el caso que <G,*> sea semigrupo y la operación sea conmutativa se dice que es un semigrupo conmutativo o abeliano.

Definición.

Sea un conjunto G y la operación binaria * definida como *(x,y)=z, normalmente escrita como x*y=z que satisface los axiomas:

1. Clausura: . * es cerrada.
2. Asociatividad: Para todo x, y, z de G, (x*y)*z=x*(y*z).

Se dice que G con la operación * es un semigrupo.

Nótese que los semigrupos se diferencian de los grupos en que estos son semigrupos que además tienen elemento neutro y por cada elemento del conjunto tienen uno y solo un elemento inverso.

Ejemplos.

1. Todo grupo <G,*> es un semigrupo.
2. Los siguientes son semigrupos representados en forma tabular:

<{a,b},@>	<{a,b,c},*>
@ a b a a b b b a	* a b c a a b c b b c a c c a b

Otros casos

• Sea S un conjunto no vacío a un elemento fijo, definamos x*y = a, para cualesquiera x, y elementos de S. La clausura de * se cumple.

La propiedad asociativa: (x*y)*z = a*z = a=x*a= x*(z*t). Trivialmente, todo conjunto no vacío con la ley de composición interna *, resulta un semigrupo.

• El conjunto N = {0,1,2...n,...} de los naturales con la adición y la multiplicación es un semigrupo, pues estas dos operaciones son leyes de composición interna, esto, es a cada par de n. naturales le corresponde un número natural que es su suma o producto según el caso. Sin embargo N o es semigrupo con la resta, pues esta es una operación parcialmente definida, ya que para algunos pares ordenados de n. naturales no existe su diferencia; lo mismo para la división de n. naturales.
• En el caso de los números enteros, la sustracción es una operación totalmente definida, es una ley de composición interna; sin embargo se cumple la propiedad asociativa; pues los casos a-(b-c) y (a-b)-c en casi toso los casos. De modo que el conjunto Z de los n. enteros no es un semigrupo con la resta.

Referencias

Fuentes.

1. Carl B. Allendoerfer, Cletus O. Oakley. Introducción moderna a la matemática superior. Ediciones del Castillo, Madrid. 1967.