Semigrupo

Semigrupo Concepto: Estructura algebraica de un conjunto y una operación sobre éste que es cerrada y asociativa.

Semigrupo. En Álgebra dícese de la estructura algebraica conformada por el par <G,*>, tales que G es un conjunto no vacío y * es una operación binaria; entonces se cumple que * es cerrada y asociativa.

En el caso que <G,*> sea semigrupo y la operación sea conmutativa se dice que es un semigrupo conmutativo o abeliano.

Definición.

Sea un conjunto G y la operación binaria * definida como *(x,y)=z, normalmente escrita como x*y=z que satisface los axiomas:

1. Clausura: . * es cerrada.
2. Asociatividad: Para todo x, y, z de G, (x*y)*z=x*(y*z).

Se dice que G con la operación * es un semigrupo.

Nótese que los semigrupos se diferencian de los grupos en que estos son semigrupos que además tienen elemento neutro y por cada elemento del conjunto tienen uno y solo un elemento inverso.

Ejemplos.

1. Todo grupo <G,*> es un semigrupo.
2. Los siguientes son semigrupos representados en forma tabular:

<{a,b},@>	<{a,b,c},*>
@ a b a a b b b a	* a b c a a b c b b c a c c a b

Otros casos

• Sea S un conjunto no vacío a un elemento fijo, definamos x*y = a, para cualesquiera x, y elementos de S. La clausura de * se cumple.

La propiedad asociativa: (x*y)*z = a*z = a=x*a= x*(z*t). Trivialmente, todo conjunto no vacío con la ley de composición interna *, resulta un semigrupo.

• El conjunto N = {0,1,2...n,...} de los naturales con la adición y la multiplicación es un semigrupo, pues estas dos operaciones son leyes de composición interna, esto, es a cada par de n. naturales le corresponde un número natural que es su suma o producto según el caso. Sin embargo N o es semigrupo con la resta, pues esta es una operación parcialmente definida, ya que para algunos pares ordenados de n. naturales no existe su diferencia; lo mismo para la división de n. naturales.
• En el caso de los números enteros, la sustracción es una operación totalmente definida, es una ley de composición interna; sin embargo, no se cumple la propiedad asociativa; pues los casos a-(b-c) y (a-b)-c en casi todos los casos. De modo que el conjunto Z de los n. enteros no es un semigrupo con la sustracción.

Este mismo conjunto de los n. enteros es un semigrupo con la multiplicación de números enteros pares; pues se cumple que el producto de dos números pares es par y se cumple la propiedad asociativa.

Sea T el conjunto de las potencias de tres , siendo T = {3ⁿ/ n es un n. entero} el conjunto T con la multiplicación es un semigrupo, ya que el producto de dos potencias de 3 es una potencia de 3; además el producto en T, hereda la propiedad asociativa del producto de los enteros, por ser un subconjunto de Z.

Referencias

Fuentes.

1. Carl B. Allendoerfer, Cletus O. Oakley. Introducción moderna a la matemática superior. Ediciones del Castillo, Madrid. 1967.