Diferencia entre revisiones de «Desigualdad matemática»
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| + | Las '''desigualdades''' en [[matemática]], son relaciones que permiten comparar dos números reales diferentes para lo cual establecemos una relación inicial (si son iguales lo que se tiene es una igualdad). | ||
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==Axiomática de orden== | ==Axiomática de orden== | ||
| − | Vamos a definir con un enfoque axiomático la relación ''' igual o menor que''' en el conjunto de todos los números reales | + | Vamos a definir con un enfoque axiomático la relación ''' igual o menor que''' en el conjunto de todos los [[números reales]] |
# Para cualesquiera dos números reales a y b se cumple sólo una de las siguientes relaciones: a ≤ b o bien b ≤ a (Ley de dicotomía) | # Para cualesquiera dos números reales a y b se cumple sólo una de las siguientes relaciones: a ≤ b o bien b ≤ a (Ley de dicotomía) | ||
# a ≤ b y b ≤ c implica a ≤ c (Ley de la transitividad) | # a ≤ b y b ≤ c implica a ≤ c (Ley de la transitividad) | ||
# si a ≤ b , entonces, a + c ≤ b + c, para cualquier real c. | # si a ≤ b , entonces, a + c ≤ b + c, para cualquier real c. | ||
# si a ≤ b y 0 ≤ c, entonces ac ≤ bc <ref> César Trejo " El Concepto de número", publicación de OEA </ref> | # si a ≤ b y 0 ≤ c, entonces ac ≤ bc <ref> César Trejo " El Concepto de número", publicación de OEA </ref> | ||
| − | ==Definiciones== | + | ==Definiciones de otras desigualdades== |
| − | + | === Igual o mayor que=== | |
Sean a y b dos números reales, diremos que a es igual o mayor que ( se denota a ≥ b) si b ≤ a. | Sean a y b dos números reales, diremos que a es igual o mayor que ( se denota a ≥ b) si b ≤ a. | ||
| − | + | === Menor que=== | |
Sean a y b dos números reales ay b diremos que a es ''menor que b'' ( denótase a < b) si a ≤ b, pero no se cumple a = b | Sean a y b dos números reales ay b diremos que a es ''menor que b'' ( denótase a < b) si a ≤ b, pero no se cumple a = b | ||
| − | + | === Mayor que === | |
Dados dos números reales a y b, diremos que a es ''mayor que b'' ( denotado: a a > b) si b < a. | Dados dos números reales a y b, diremos que a es ''mayor que b'' ( denotado: a a > b) si b < a. | ||
| − | + | === Diferente de=== | |
Diremos que el real a ''es diferente'' del real b ( denotado a ≠ b) si no se cumple la afirmación a = b. | Diremos que el real a ''es diferente'' del real b ( denotado a ≠ b) si no se cumple la afirmación a = b. | ||
| − | + | ==Comparando con el cero== | |
| + | ===Real positivo=== | ||
Un número real p es ''positivo'' si p > 0 | Un número real p es ''positivo'' si p > 0 | ||
| − | + | ===Real negativo === | |
un número real n es ''negativo'' si n < 0 | un número real n es ''negativo'' si n < 0 | ||
| − | + | ===no positivo=== | |
El número real r es '' no positivo'' si r ≤ 0 | El número real r es '' no positivo'' si r ≤ 0 | ||
| − | + | === No negativo=== | |
El número real s en ''no negativo'' si s ≥ 0 | El número real s en ''no negativo'' si s ≥ 0 | ||
| − | + | ==Sentidos== | |
| + | === Sentido contrario === | ||
Se dice que las desigualdades a < b y c > d tienen ''sentido contrario'', lo mismo que a ≤ b y c ≥d | Se dice que las desigualdades a < b y c > d tienen ''sentido contrario'', lo mismo que a ≤ b y c ≥d | ||
| − | + | === Mismo sentido=== | |
Diremos que a<b y c < d ( e < f y g < h; i ≤j k ≤l; m≥n p ≥q) tienen el ''mismo sentido'' <ref> R. A. Kalnin: '' Álgebra y funciones elementales'' Editorial Mir Moscú ( 1973) </ref>. | Diremos que a<b y c < d ( e < f y g < h; i ≤j k ≤l; m≥n p ≥q) tienen el ''mismo sentido'' <ref> R. A. Kalnin: '' Álgebra y funciones elementales'' Editorial Mir Moscú ( 1973) </ref>. | ||
| + | ==Tipos== | ||
| + | ===Desigualdades amplias=== | ||
| + | Son las de esta forma a ≤ b o bien b ≥ a | ||
| + | ===Desigualdades estrictas=== | ||
| + | Asumen cualquiera de estas formas a < b o bien b > a <ref>Álgebra I de Armando Rojo</ref> | ||
==Aplicaciones== | ==Aplicaciones== | ||
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==Fuentes== | ==Fuentes== | ||
| − | * G. N. Yakovliev (director) '' Álgebra y principios de análisis'', Editorlal Mir Moscú (1984) | + | * G. N. Yakovliev (director) '' Álgebra y principios de análisis'', Editorlal Mir, [[Moscú]] (1984) |
| − | *P. P. Korovkin: ''Desigualdades'' Editorial Mir, Moscú (1976) | + | * P. P. Korovkin: ''Desigualdades'' [[Editorial Mir]], Moscú (1976) |
==Enlaces externos== | ==Enlaces externos== | ||
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| + | [[Categoría: Matemática básica]] | ||
| + | [[Categoría: Relaciones de números reales]] | ||
última versión al 12:49 27 jun 2022
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Las desigualdades en matemática, son relaciones que permiten comparar dos números reales diferentes para lo cual establecemos una relación inicial (si son iguales lo que se tiene es una igualdad).
Sumario
Axiomática de orden
Vamos a definir con un enfoque axiomático la relación igual o menor que en el conjunto de todos los números reales
- Para cualesquiera dos números reales a y b se cumple sólo una de las siguientes relaciones: a ≤ b o bien b ≤ a (Ley de dicotomía)
- a ≤ b y b ≤ c implica a ≤ c (Ley de la transitividad)
- si a ≤ b , entonces, a + c ≤ b + c, para cualquier real c.
- si a ≤ b y 0 ≤ c, entonces ac ≤ bc [1]
Definiciones de otras desigualdades
Igual o mayor que
Sean a y b dos números reales, diremos que a es igual o mayor que ( se denota a ≥ b) si b ≤ a.
Menor que
Sean a y b dos números reales ay b diremos que a es menor que b ( denótase a < b) si a ≤ b, pero no se cumple a = b
Mayor que
Dados dos números reales a y b, diremos que a es mayor que b ( denotado: a a > b) si b < a.
Diferente de
Diremos que el real a es diferente del real b ( denotado a ≠ b) si no se cumple la afirmación a = b.
Comparando con el cero
Real positivo
Un número real p es positivo si p > 0
Real negativo
un número real n es negativo si n < 0
no positivo
El número real r es no positivo si r ≤ 0
No negativo
El número real s en no negativo si s ≥ 0
Sentidos
Sentido contrario
Se dice que las desigualdades a < b y c > d tienen sentido contrario, lo mismo que a ≤ b y c ≥d
Mismo sentido
Diremos que a<b y c < d ( e < f y g < h; i ≤j k ≤l; m≥n p ≥q) tienen el mismo sentido [2].
Tipos
Desigualdades amplias
Son las de esta forma a ≤ b o bien b ≥ a
Desigualdades estrictas
Asumen cualquiera de estas formas a < b o bien b > a [3]
Aplicaciones
- Las desigualdades se usan para definir los diferentes tipos de intervalos y bolas o discos en R n
- Se usan para formular las distintas inecuaciones sean algebraicas ( polinomiales o racionales) o trascendentes ( exponenciales, logarítmicas, trigonométricas) e inecuaciones no elementales con valor absoluto , mayor entero, etc.
- Para una definición de valor absoluto
- Para determinar el conjunto solución de una inecuación determinada
- Para definir los extremos de una función real de variable real si existen
- Expresar ciertas fórmulas de amplia validez
Referencias y notas
Fuentes
- G. N. Yakovliev (director) Álgebra y principios de análisis, Editorlal Mir, Moscú (1984)
- P. P. Korovkin: Desigualdades Editorial Mir, Moscú (1976)
Enlaces externos
Inecuación cuadrática: Enciclopedia Libre Universal en Español
