Bifurcaciones de ecuaciones diferenciales
Bifurcaciones de Ecuaciones Diferenciales
En matemática, bifurcaciones de ecuaciones diferenciales es un cambio cualitativo en la estructura del sistema dinámico descrito por tal ecuación diferencial cuando se varia uno o mas parámetros de la ecuación.
Sumario
Historia
El nombre de "bifurcación" (abreviado “bif'n” en ingles o “bif” en espanol) fue introducido por primera vez por Henri Poincaré en 1885 en el primer documento de matemáticas que muestran un comportamiento de ese tipo[1]. Poincaré también nombró varios tipos de puntos estacionarios y los clasificó[2].
Teoría
La teoría de bifurcaciones es un campo matemático centrado en el estudio de los cambios en la estructura cualitativa o topológica del comportamiento de un conjunto de ecuaciones. La teoría tiene una importancia práctica en ingeniería y física.
En un sistema dinámico, una bifurcación es un período de duplicación, cuadruplicando, etc., que acompaña la aparición de caos, o viceversa. Representa la aparición repentina de una solución cualitativamente diferente para un sistema no lineal cuando algún parámetro es variado.
La teoría de la bifurcación estudia el comportamiento de familias de soluciones de ecuaciones diferenciales, como por ejemplo curvas integrales de un campo vectorial. En referencia a sistemas dinámicos, una bifurcación se da cuando una pequeña variación en los valores de los parámetros de un sistema causa un cambio cualitativo o topológico. Las bifurcaciones pueden producirse tanto en sistemas continuo o discreto.
Introduccion
Hay muchos casos de bifurcaciones, y se dividen entre dos tipos o clasificaciones: bifurcaciones locales y bifurcaciones globales. Bifurcaciones pueden existir en una, dos, … etc dimensiones de sistemas de ecuaciones diferenciales (espacio vectorial de cualquier base). Como dicho, bifurcaciones ocurren en ambos sistemas continuos (descritos por ecuación diferencial ordinaria, ecuaciones diferenciales con retraso, ecuación en derivadas parciales, ecuación diferencial lineal o no lineal, y ecuaciones diferenciales de varios grados) y sistemas discretos (descritos por mapas).
Cuando los parámetros se cambian, las bifurcaciones que aparecen pueden ser estables o inestables, y también pueden ser periódicos al llegar a la estabilización o mientras que están en inestabilidad. Aunque que existe un infinito número de maneras de que un sistema cambie (via su parámetros), solo hay various tipos de cambios estables estructuralmente[3]. René Thom propuso siete tipos de catástrofes elementales en las tres dimensiones de espacio y la dimensión de tiempo. Las siete catástrofes son el pliegue, la cúspide, la mariposa, la cola de golondrina, el ombligo elíptico, el ombligo hiperbólico y el ombligo parabólico. Un estado especial que es estable en el sistema local pero que puede llegar a ser inestable en la presencia de difusión se llama la inestabilidad de Turing.
Bif'n locales
Los casos locales incluyen pero no se limitan a bifurcación tridente (donde sale uno nuevo, llamado en ingles “pitchfork”), bifurcación silla-nodo (donde desaparece, llamado “saddle-node” en ingles), bifurcación transcritica (donde chocan), bifurcacion tangencial, bifurcación vertical, y bifurcación de Hopf en minimo de dos dimensiones, y bifurcación de zip. Bifurcaciones de Hopf tienen orbito periódico con ciclos límite, y se puede calcular sus promedios con expansiones asintóticas de la radio y frecuencia[4]. Bifurcaciones tridente, como bifurcaciones de Hopf, pueden ser supercríticas o subcríticas, dependiendo de la señal de la tercera derivada. Bifucaciones se encuentran analizando el sistema linealizado (determinante de la matriz jacobiana) en el punto de bifurcación.
Resumen de various ejemplos de bif'n locales:
- bifurcación silla-nodo
- bifurcación transcrıtico
- bifurcación tridente
- bifurcación período de duplicación
- bifurcación de Hopf
Ejemplo 1
Un ejemplo de dimensión 1 (supercrítico). Bifurcaciones de las catástrofes pliegue o cúspide. La ecuación diferencial: dx/dt˙ = 4x − x3 + C describe un estructura de un sistema dinámico físico, donde C es el parámetro que se varia para encontrar un cambio cualitativo (que puede ser estable o inestable (o viceversa) de inestabilacion o estabilacion) en el sistema dinámico.
Bif'n Hopf
Definición de una bifurcación de Hopf es la aparición o la desaparición de una órbita periódica a través de un cambio local en las propiedades de estabilidad (parámetro) de un punto de equilibrio. Es decir, la bifurcación de Hopf es un punto crítico en el que la estabilidad de un sistema cambia y surge una solución periódica[5]. Tabor (1989), lo dice con otras palabras: es la bifurcación de un punto fijo a un ciclo límite[6]. Weisstein (2004), mas o menos lo repite: un bifurcación (cambio) de un punto fijo a un ciclo límite. La bifurcación de Hopf también se conoce como bifurcación de Poincaré-Hopf-Andronov (Henri Poincaré, Eberhard Hopf, y Aleksandr Andronov).
El teorema de la bifurcación de Hopf usa un par de números complejos (que son puntos conjugados) como condicion en la que se produce el fenómeno de bifurcación de Hopf.
Teorema: Sea Jo el Jacobiano de un sistema dinámico evaluado en un punto de equilibrio, y que se suponga que todos los valores propios (eigenvalores) de Jo tienen partes reales que son negativas, excepto un par conjugado no-cero puramente imaginario, entonces una bifurcación de Hopf surge cuando estes par de eigenvlaores cruzan el eje imaginario por causa de variación del parámetro.
Ejemplo 2
Un ejemplo de dimensión 2 (subcrítico), las ecuaciones diferenciales: dx/dt = A –CX – X + X2Y; dy/dt = CX – X2Y donde C es el parámetro que se varia para observar un cambio cualitativo (en este ejemplo sera un bifurcación de Hopf) en el sistema dinámico (que en este caso es una reacción química).
Los puntos de equilibrios del sistema de las ecuaciones diferenciales son calculado resolviendo las ecuaciones: a – cx – x + x2y = 0; cx - x2y = 0
sumando las dos ecuaciones resulta en x = a
Asi que el unico punto de equilibrio es (a, c/a)
Para determinar la estabilidad del sistema se usa el Jacobiano:
D[f(x,y)] = | D(1,1) = -c-1+2xy D(1,2)= x2 D(2,1)= c-2xy D(2,2) = -x2 |
D[f(a, c/a)] = | D(1,1) = c-1 D(1,2) = a2 D(2,1)= -c D(2,2) = -a2 |
Traza (D[f(a, c/a)]) = - a2 + c – 1; estable espiral si la Traza es negativo, sino inestable Det (D[f(a, c/a)]) = a2
Como el determinante siempre es positivo, nunca cero, el punto de equilibrio nunca es silla-nodo[7].
cuando a = 2, c < a2 + 1, c < 5 estable, asi que no hay ciclos límite; cuando a = 2, c > 5 si hay ciclos límite porque el espiral se aleja de cero (Figura 2).
Asi que el punto c = a2 + 1 es un bifurcación de Hopf y es subcrítico.
Para demostrar que existe una bifurcación de Hopf use la teorema de la bifurcación de Hopf (que los valores propios son puro imaginarios y no nulo).
Se le recuerda que el ciclo límite es de orbital estable si el primer coeficiente de Lyapunov es negativo y la bifurcación es supercrítico. De lo contrario, es inestable y la bifurcación es subcrítico.
Este ejemplo demuestra el “Brusselator”, que es un tipo de reacción autocatalítica (un proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo). El Brusselator es una reacción química que es oscilante y no lineal (por ser autocatalítica) y fue polémico en los 1900 y pico entre químicos, y fue propuesto por Ilya Prigogine en la Universidad Libre de Bruselas. El nombre es un acrónimo de Brussels (‘Bruselas’) y oscillator (‘oscilador’). La "más pequeña reacción química con bifurcación de Hopf" fue encontrado en 1995 en Berlín, Alemania[8].
Asíntota
Una expansión de serie asintótica, o expansión de Poincaré, es una serie formal de las funciones que tiene la propiedad de que el truncamiento de la serie después de un número finito de términos proporciona una aproximación a una función dada como argumento de la función tiende hacia un punto determinado y con frecuencia infinita.
Una serie formal es una generalización de un polinomio, donde se le permite ser infinito el número de términos; esto implica renunciar a la posibilidad de sustituir la variable en el polinomio con un número arbitrario[9].
Se puede derivar expansiones asintóticas a las soluciones de ciclo límite debido a una bifurcación de Hopf, como por ejemplo, en sistemas de reacción químico ilustrado[10].
Bif'n globales
Casos globales incluyen pero no se limitan a bifurcación de conexión heteroclina, bifurcación de conexión homoclínica, bifurcación de período infinito, y bifurcación Takens-Bogdanov,[11]. Los globales son más complejos y no existe una forma fácil para determinarlos [12].
Resumen de various ejemplos de bif'n globales:
- bifurcación homoclínico
- bifurcación heteroclínicas
- Infinito período de bifurcación
- Cielo azul catástrofe (trayectoria periódica tiende al valor crítico sin límite, Fuller 1967)
Diagramas
Diagramas de bifurcaciones (Gráficas). Un diagrama de bifurcación de un sistema dinámico es una estratificación de su espacio de parámetros inducida por la equivalencia topológica, junto con los retratos de fase representativos de cada estrato. Las soluciones estables suelen representarse mediante líneas continuas, mientras que las soluciones inestables se representan con líneas punteadas.
Valor propio
La importancia del valor propio (o eigenvalor), el Jacobiano (matriz jacobiana), y los números complejos se puede ver en el ejemplo de la teorema de Hopf que dice que en el plano imaginario las bifurcaciones ocurren cuando los dos eigenvalores cruzan la parte derecha del plano (la parte real que es positiva).
Véase también
Referencias
- ↑ Henri Poincaré. "L'Équilibre d'une masse fluide animée d'un mouvement de rotation". Acta Mathematica, vol.7, pp. 259-380, Sept 1885.
- ↑ History of dynamical systems http://www.scholarpedia.org/article/History_of_dynamical_systems
- ↑ AUBIN, David, The Catastrophe Theory of René Thom en Growing Explanations: Historical Perspective on the Sciences of Complexity, Duke University Press, Durham, 2004, pp. 95-130.
- ↑ J. Phys. A: Math. Theor. 44 (2011) 065202 - ON DEGENERATE PLANAR HOPFBIFURCATIONSM. R. Ricard, Departamento de Matemática,Universidad de La Habana https://www.researchgate.net/publication/231056629_On_degenerate_planar_Hopf_bifurcations
- ↑ Hopf Bifurcations. MIT. http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-385j-nonlinear-dynamics-and-chaos-fall-2004/lecture-notes/hopfbif.pdf
- ↑ Weisstein, Eric W. "Hopf Bifurcation." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/HopfBifurcation.html
- ↑ Dynamics of the Brusselator, Shaun Ault Erik Holmgreen, 3/16/2003 http://www-dimat.unipv.it/~boffi/teaching/download/Brusselator.pdf
- ↑ Wilhelm, T.; Heinrich, R. (1995). "Smallest chemical reaction system with Hopf bifurcation". Journal of Mathematical Chemistry 17 (1): 1–14. doi:10.1007/BF01165134.
- ↑ Bhatt, Bhuvanesh and Weisstein, Eric W. "Asymptotic Series." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/AsymptoticSeries.html
- ↑ Journal of Nonlinear Science 19(5):467-496 · September 2009 - Turing Instabilities at Hopf Bifurcation M. R. Ricard, , Departamento de Matemática,Universidad de La Habana, S. Mischler https://www.researchgate.net/publication/227116734_Turing_Instabilities_at_Hopf_Bifurcation
- ↑ Análisis De La Bifurcación Takens-Bogdanov En El Modelo Depredador-Presa Con Defensa De Grupo https://www.redib.org/recursos/Record/oai_articulo788017-analisis-bifurcacion-takens-bogdanov-modelo-depredador-presa-defensa
- ↑ Dynamics and bifurcations. Jack K. Hale, Hüseyin Koçak. 1991 Springer-Verlag ISBN-13: 978-0387971414
