Índice de Theil
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El índice de Theil es una medida estadística utilizada prominentemente en economía y ciencias sociales para cuantificar la desigualdad de ingresos o la distribución desigual de otros recursos dentro de una población. Nombrado así por el econometrista holandés Henri Theil, quien lo propuso en 1967, este índice se basa en el concepto de entropía de la teoría de la información, ofreciendo una perspectiva única sobre las disparidades económicas.
A diferencia de otras medidas como el coeficiente de Gini, una de las características más destacadas y valoradas del índice de Theil es su capacidad de descomposición. Esto significa que puede desglosar la desigualdad total de una población en dos componentes: la desigualdad dentro de subgrupos definidos (por ejemplo, regiones geográficas, niveles educativos, sectores industriales) y la desigualdad entre esos subgrupos. Esta propiedad lo convierte en una herramienta analítica poderosa para identificar las fuentes y la estructura de la desigualdad.
Sumario
Cálculo
El índice de Theil se deriva del concepto de entropía en la teoría de la información de Shannon, que mide la incertidumbre o el "desorden" en un sistema. En este contexto, la desigualdad se interpreta como la redundancia o la pérdida de diversidad en la distribución de recursos:
- Entropía máxima: Ocurre cuando todos los individuos tienen ingresos idénticos (equidad perfecta).
- Entropía observada: Refleja la distribución real del ingreso.
Existen principalmente dos variantes del índice de Theil, a menudo denominadas Theil-L y Theil-T, que difieren en su sensibilidad a las desigualdades en diferentes partes de la distribución del ingreso.
La fórmula general para el Índice de Theil (T), a menudo conocido como Theil-T, es:
donde:
- xi:Ingreso del individuo i.
- μ: Ingreso medio de la población.
- N: Tamaño de la población
Una formulación alternativa, y a veces más común, especialmente cuando se trabaja con datos agrupados o cuando se quiere dar más peso a las distancias de ingreso en términos de cuotas de población (conocido como Theil-L o medida de entropía generalizada con parámetro 0), es:
Mide el logaritmo de la razón entre el ingreso medio y el ingreso individual. Más sensible a cambios en la cola inferior (ej.: pobreza)
La variante Theil-T es más sensible a las diferencias en la parte alta de la distribución de ingresos, mientras que Theil-L es más sensible a las diferencias en la parte baja.
Interpretación de los valores del índice de Theil:
- Un valor de 0 indica igualdad perfecta, es decir, todos los individuos tienen el mismo ingreso.
- Valores mayores que 0 indican un aumento de la desigualdad. Cuanto mayor sea el valor del índice, mayor será la desigualdad.
- El límite superior del índice de Theil-T es ln(N), que se alcanzaría en una situación de máxima desigualdad donde una sola persona concentra todos los ingresos. El Theil-L no está acotado superiormente de la misma forma. A menudo, el índice se normaliza dividiéndolo por ln(N) para obtener un valor entre 0 y 1, facilitando las comparaciones.
| Distribución de Ingresos | Fórmula del Índice Theil-T (nats) |
|---|---|
| Dirac delta (equidad perfecta) | 0 |
| Distribución exponencial | 1 - γ (γ: constante de Euler) |
| Log-Normal | σ/2 |
| Pareto (α > 1) |  |
| Weibull |  |
Ejemplo numérico
Supongamos una población de 3 personas con ingresos: [10, 20, 30]:
- μ = (10 + 20 + 30) / 3 = 20
- Términos individuales:
- Persona 1: (10/20) × ln(10/20) = 0.5 × ln(0.5) ≈ -0.347
- Persona 2: (20/20) × ln(20/20) = 1 × ln(1) = 0
- Persona 3: (30/20) × ln(30/20) = 1.5 × ln(1.5) ≈ 0.608
- Suma: -0.347 + 0 + 0.608 = 0.261
- TT = 0.261 / 3 ≈ 0.087 (Desigualdad baja: máximo es ln(3) ≈ 1.099).
Descomposición del índice de Theil
La principal ventaja del índice de Theil es su perfecta descomponibilidad aditiva. Si la población total se divide en K subgrupos mutuamente excluyentes, la desigualdad total (T) se puede expresar como la suma de dos componentes:
T = Tentre - Tdentro
Donde:
- Tentre (desigualdad entre grupos): Mide la desigualdad que existiría si cada individuo dentro de un subgrupo tuviera el ingreso promedio de ese subgrupo. Refleja las diferencias en los ingresos promedios entre los distintos subgrupos.
- Tdentro (desigualdad dentro de los grupos): Es un promedio ponderado de la desigualdad existente dentro de cada uno de los subgrupos. Representa la desigualdad que no se explica por las diferencias entre los promedios de los grupos.
Esta descomposición permite a los investigadores y analistas determinar qué proporción de la desigualdad total se debe a las diferencias entre, por ejemplo, áreas urbanas y rurales, diferentes grupos étnicos, o niveles de educación, y qué proporción se debe a la desigualdad dentro de esos mismos grupos.
Aplicaciones del índice de Theil
El índice de Theil se utiliza en una variedad de campos para analizar diferentes tipos de desigualdades:
- Economía: Principalmente para medir la desigualdad de ingresos y riqueza, tanto a nivel nacional como internacional. Permite rastrear la evolución de la desigualdad a lo largo del tiempo y comparar entre diferentes países o regiones.
- Sociología y estudios de desarrollo: Para analizar disparidades en el acceso a la educación, la salud, u otras oportunidades sociales entre diferentes grupos demográficos. Al desagregar por género y etnia, el índice cuantifica cuánto contribuye cada grupo a la desigualdad total, informando políticas de equidad.
- Planificación regional y urbana: Para identificar disparidades económicas entre diferentes regiones o ciudades dentro de un país, ayudando a focalizar políticas de desarrollo. El Banco Mundial utiliza el índice para descomponer la desigualdad en América Latina por zonas urbanas/rurales, identificando que el 40% de la desigualdad nacional se explica por diferencias entre regiones
- Estudios sectoriales: Para analizar la concentración y desigualdad dentro de diferentes sectores industriales o económicos.
- Modelos económicos modernos: En modelos HANK (Heterogeneous Agent New Keynesian), el índice ayuda a simular impactos distributivos de políticas fiscales entre capitalistas y trabajadores.
Ventajas del índice de Theil
- Descomponibilidad: Es su atributo más significativo, permitiendo un análisis más profundo de las fuentes de desigualdad.
- Base teórica en la teoría de la información: Proporciona una perspectiva diferente y fundamentada para entender la distribución.
- Sensibilidad a las transferencias: Aunque depende de la variante (Theil-L es más sensible a cambios en la cola inferior, Theil-T a la superior), puede capturar el impacto de las transferencias de ingresos en diferentes segmentos de la población.
Desventajas y limitaciones del índice de Theil
- Menos intuitivo: En comparación con el coeficiente de Gini, su interpretación directa puede ser menos obvia para el público general, ya que no está directamente ligado a una representación gráfica como la curva de Lorenz.
- Sensibilidad al tamaño de la población (si no se normaliza): El valor máximo del Theil-T depende del tamaño de la población N, lo que puede complicar las comparaciones entre poblaciones de tamaños muy diferentes si no se utiliza una versión normalizada.
- Manejo de ingresos cero o negativos: La fórmula original del índice de Theil implica logaritmos, lo que requiere un tratamiento especial si existen ingresos cero (el logaritmo de cero no está definido) o negativos. Generalmente, se asume que todos los ingresos son positivos.
Comparación con el coeficiente de Gini
Tanto el índice de Theil como el coeficiente de Gini son medidas de desigualdad ampliamente utilizadas. Sin embargo, presentan diferencias clave:
- Descomposición: El Gini no es perfectamente descomponible de la misma manera aditiva que el Theil. Aunque existen métodos para descomponer el Gini, suelen incluir un término residual o de superposición, lo que complica la interpretación.
- Sensibilidad: El Gini es más sensible a los cambios en el centro de la distribución, mientras que la sensibilidad del Theil puede variar (Theil-L a la parte baja, Theil-T a la parte alta).
- Interpretación: El Gini, derivado de la curva de Lorenz, suele ser más fácil de visualizar e interpretar intuitivamente.
- Dependencia de microdatos: Requiere datos detallados por hogar/grupo, no siempre disponibles en países en desarrollo
La elección entre el índice de Theil y el coeficiente de Gini (u otras medidas de desigualdad) a menudo depende de los objetivos específicos del análisis, particularmente si la descomposición de la desigualdad es una prioridad.
Relevancia para el análisis de clases sociales
El índice de Theil permite reintroducir el concepto de clase económica en el análisis de la desigualdad. Por ejemplo, en un estudio histórico sobre la distribución de la riqueza en Frisia (1749):
- 112 oligarcas (dueños de tierras y cargos políticos) contribuyeron al 58% de la desigualdad total.
- El 80% de su contribución se debió a la desigualdad intergrupo (diferencia de riqueza media vs. el resto).
Esto revela cómo el poder político y la propiedad de la tierra se traducen en desigualdad económica, un vínculo crítico que el Gini no puede cuantificar.
Descomposición del índice de Theil en Frisia (1749):
| Grupo Social | Número de Individuos | Contribución a la Desigualdad Total | Principal Fuente |
|---|---|---|---|
| Oligarcas | 112 | 58% | Desigualdad intergrupo (vs. promedio) |
| Pastores | 89 | 12% | Desigualdad intragrupo |
| Comerciantes | 210 | 15% | Desigualdad intragrupo |
| Otros (artesanos, etc.) | ~4,000 | 15% | Mixta |
Consideraciones
El índice de Theil, concebido por Henri Theil, es una herramienta estadística valiosa y robusta para el análisis de la desigualdad. Su capacidad única para descomponer la desigualdad total en componentes intergrupales e intragrupales lo distingue de otras medidas y proporciona una comprensión más matizada de las disparidades económicas y sociales. A pesar de ser potencialmente menos intuitivo que el coeficiente de Gini para algunos, sus propiedades analíticas lo convierten en un instrumento indispensable para investigadores y responsables de la formulación de políticas que buscan no solo medir la desigualdad, sino también entender sus múltiples dimensiones y orígenes.
