Función de producción Cobb-Douglas
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La función de producción Cobb-Douglas es un modelo matemático utilizado para representar la relación entre insumos (factores de producción) y el nivel de output generado en una economía. Fue desarrollada en la década de 1920 por el economista estadounidense Paul Howard Douglas(1892-1976) y el matemático Charles Wiggins Cobb(1875-1949). Surgió como resultado de sus estudios empíricos sobre la relación entre el capital y el trabajo y su impacto en la producción en las industrias estadounidenses.
Esta función supone que la producción es una combinación de dos insumos principales, trabajo (L) y capital (K), y se expresa mediante la siguiente fórmula:
Y = AKαLβ
Donde:
- Y es la cantidad de producción (output).
- A es un coeficiente de productividad total de los factores.
- L es la cantidad de trabajo (labor).
- K es la cantidad de capital.
- α y β son los coeficientes de elasticidad de producción respecto al capital y al trabajo, respectivamente.
Esta fórmula refleja la idea de que la producción puede aumentar con incrementos en trabajo y capital, y que estos factores pueden tener distintos grados de influencia en el nivel de output.
La función de producción Cobb-Douglas fue publicada por primera vez en 1928 en un artículo titulado "A Theory of Production" por Charles W. Cobb y Paul H. Douglas. Este artículo apareció en el American Economic Review.
Charles W. Cobb era un matemático interesado en aplicar métodos matemáticos a problemas económicos. Paul H. Douglas, por su parte, era un economista y político que más tarde se convirtió en senador de los Estados Unidos. Juntos, analizaron datos de producción industrial y formularon la función que lleva sus nombres para describir cómo el capital y el trabajo se combinan para generar output.
La función Cobb-Douglas se hizo muy popular porque capturaba de manera simple y efectiva la relación entre los factores de producción y la producción, y porque podía ajustarse a muchos tipos de datos empíricos de manera precisa. Desde su creación, ha sido utilizada ampliamente en la economía para estudios de crecimiento, productividad y distribución del ingreso, entre otros.
Sumario
Rendimientos de escala
Los rendimientos de escala en la función de producción Cobb-Douglas describen cómo cambia la producción cuando se incrementan proporcionalmente todos los factores de producción (capital y trabajo). Hay tres tipos de rendimientos de escala:
- Rendimientos constantes a escala: Ocurren cuando el incremento en la producción es proporcional al incremento en los factores de producción. Es decir, si duplicamos tanto el capital como el trabajo, la producción también se duplica. Esto ocurre cuando la suma de los exponentes α y β es igual a 1 (α + β = 1).
- Rendimientos crecientes a escala: Ocurren cuando el incremento en la producción es mayor al incremento en los factores de producción. En este caso, si duplicamos el capital y el trabajo, la producción más que se duplica. Esto sucede cuando la suma de los exponentes α y β es mayor a 1 (α + β > 1).
- Rendimientos decrecientes a escala: Ocurren cuando el incremento en la producción es menor al incremento en los factores de producción. Aquí, si duplicamos el capital y el trabajo, la producción aumenta en menos del doble. Este escenario ocurre cuando la suma de los exponentes α y β es menor a 1 (α + β < 1).
La función Cobb-Douglas es muy útil para analizar cómo la eficiencia y la escala de producción afectan la economía, permitiendo a los economistas y planificadores entender mejor el impacto de los cambios en los factores de producción.
Knut Wicksell
Knut Wicksell hizo una contribución significativa a la teoría de la producción antes de la formulación de la función de producción Cobb-Douglas por Charles Cobb y Paul Douglas. En 1916, Wicksell publicó un artículo en la revista "Economic Tidskrift" donde presentó una función de producción que se asemejaba estrechamente a la función Cobb-Douglas. Aunque su trabajo no recibió mucha atención en ese momento, fue un precursor importante.
Wicksell utilizó esta función para analizar la producción agrícola en Suecia y para explicar la distribución de ingresos según la teoría de la productividad marginal. Su trabajo influyó en la forma en que Cobb y Douglas desarrollaron su propia función de producción, aunque ellos se enfocaron más en la industria.
En resumen, aunque la función de producción Cobb-Douglas es más conocida por los nombres de Cobb y Douglas, el trabajo previo de Wicksell fue fundamental para su desarrollo.
Calcular el crecimiento económico
La función de producción Cobb-Douglas puede ser utilizada para analizar y calcular el crecimiento económico de una manera efectiva, ya que permite descomponer el crecimiento en contribuciones de diferentes factores de producción, como el trabajo y el capital, y la mejora en la productividad total de los factores. Para calcular el crecimiento económico utilizando la función de producción Cobb-Douglas, se pueden seguir los siguientes pasos:
1. Transformación logarítmica: Para facilitar el análisis, aplicamos logaritmos naturales:
ln(Y) = ln(A) + αln(K) + βln(L)
2. Diferencias en logaritmos (para medir crecimiento): La tasa de crecimiento de una variable se puede aproximar por la diferencia en sus logaritmos. Entonces, para medir el crecimiento económico, calculamos las diferencias en los logaritmos:
△ln(Y) = △ln(A) + α△ln(K) + β△ln(L)
3. Crecimiento de la Productividad total de los factores: El crecimiento de la productividad total de los factores refleja la mejora en la eficiencia y la tecnología:
△ln(A) = △ln(Y) - α△ln(K) - β△ln(L)
En resumen, el crecimiento económico (△ln(Y)) puede ser descompuesto en tres componentes principales:
- Crecimiento del capital (α△ln(K))
- Crecimiento del trabajo (β△ln(L))
- Crecimiento de la productividad total de los factores (△ln(A))
Un ejemplo simplificado con valores decimales en las variables nos ayuda a entender la función. Supongamos que tenemos los siguientes datos para dos periodos, t0 y t1:
| Período | Producción (Y) | Capital (K) | Trabajo (L) |
|---|---|---|---|
| t0 | 1000 | 500 | 200 |
| t1 | 1200 | 550 | 220 |
También se asume que α = 0.4 y β = 0.6
1. Función de Producción Cobb-Douglas:
Y = AK0.4L0.6
2. Tasas de Crecimiento: Se calculan las tasas de crecimiento de la producción, el capital y el trabajo.
ln(Y) = ln(1200) - ln(1000)
ln(Y) = ln(550) - ln(500)
ln(Y) = ln(220) - ln(200)
Usando logaritmos naturales (aproximados):
ln(Y) ≈ 7.090 - 6.907 = 0.183
ln(K) ≈ 6.309 - 6.214 = 0.095
ln(L) ≈ 5.393 - 5.298 = 0.095
3. Descomposición del crecimiento: Se usa la función linealizada para descomponer el crecimiento de la producción:
△ln(Y) = △ln(A) + 0.4△ln(K) + 0.6△ln(L)
Se sustituyen las tasas de crecimiento:
0.183 = △ln(A) + 0.4 × 0.095 + 0.6 × 0.095
Se calculan los componentes:
0.183 = △ln(A) + 0.038 + 0.057
0.183 = △ln(A) + 0.095
4. Crecimiento de la Productividad Total de los Factores (△ln(A)): Finalmente, se despeja:
△ln(A) = 0.183 - 0.095
△ln(A) = 0.088
En este ejemplo, el crecimiento económico (△ln(Y)) del 18.2% se descompone en:
- Crecimiento del capital (3.8%)
- Crecimiento del trabajo (5.7%)
- Crecimiento de la productividad total de los factores (8.8%)
Este análisis permite identificar las fuentes del crecimiento económico y evaluar la contribución relativa de cada factor de producción y la productividad total.
Críticas
La función de producción Cobb-Douglas ha sido ampliamente utilizada y también ha sido objeto de varias críticas. Aquí se presentan algunas de las principales críticas:
- Supuestos restrictivos: La función Cobb-Douglas asume que los factores de producción (capital y trabajo) son complementarios y que sus elasticidades de producción son constantes. Sin embargo, en la realidad, la relación entre capital y trabajo puede ser más compleja y puede variar según el nivel de desarrollo económico y tecnológico.
- Falta de flexibilidad: La función no considera otros factores que pueden influir en la producción, como la tecnología, la calidad del capital y el trabajo, y las innovaciones. Esto puede limitar su capacidad para explicar el crecimiento económico en diferentes contextos.
- Distribución de la renta: Algunos críticos argumentan que la función Cobb-Douglas no aborda adecuadamente la distribución de la renta entre capital y trabajo. Esto puede ser problemático cuando se utiliza para analizar políticas económicas y su impacto en la distribución del ingreso.
- Aplicabilidad limitada: Aunque la función ha sido aplicada a una amplia gama de economías, su validez puede ser cuestionada en contextos donde las condiciones económicas y sociales son muy diferentes a las de los países donde se desarrolló originalmente.
- Métodos econométricos: Con el avance de los métodos econométricos, se han desarrollado modelos más sofisticados que pueden capturar mejor la complejidad de la producción y el crecimiento económico. Estos modelos pueden ofrecer una visión más completa y precisa.
A pesar de estas críticas, la función de producción Cobb-Douglas sigue siendo una herramienta valiosa en la economía debido a su simplicidad y capacidad para proporcionar una primera aproximación del comportamiento de la producción.
